on erityinen systeemityyppi, joka vaatii lisätutkimuksia. Tällaista systeemiä kutsutaan homogeeniseksi yhtälöryhmäksi, jonka määrittelimme edellä määritelmässä . Meidän painopiste tässä osassa on pohtia, millaisia ratkaisuja ovat mahdollisia homogeeninen yhtälöiden järjestelmä.
harkitse seuraavaa määritelmää.
määritelmä \(\PageIndex{1}\): Triviaali ratkaisu
tarkastellaan \ Then, \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) on aina tämän järjestelmän ratkaisu. Kutsumme tätä triviaaliksi ratkaisuksi .
Jos systeemissä on ratkaisu, jossa kaikki \(x_1, \cdots, x_n\) eivät ole yhtä kuin nolla, kutsutaan tätä ratkaisua nontriviaaliksi . Triviaali ratkaisu ei kerro paljon järjestelmästä, koska se sanoo, että \(0=0\)! Siksi, kun työskennellään homogeeninen järjestelmien yhtälöt, haluamme tietää, kun järjestelmä on nontrivial ratkaisu.
Oletetaan, että meillä on \(m\) yhtälöiden homogeeninen järjestelmä käyttäen \(n\) muuttujia, ja oletetaan, että \(n > m\). Toisin sanoen muuttujia on enemmän kuin yhtälöitä. Sitten käy ilmi, että tämä järjestelmä on aina ei-rivial ratkaisu. Ei vain järjestelmä on ei-kriviaalinen ratkaisu, mutta se on myös äärettömän monta ratkaisua. Myös jos \(n=m\) ja \(n<m\) on mahdollista, mutta ei vaadita.
harkitse seuraavaa esimerkkiä.
esimerkki \(\PageIndex{1}\): Ratkaisut homogeeniseen Yhtälöryhmäjärjestelmään
Etsi epäyhtenäiset ratkaisut seuraavaan homogeeniseen yhtälöryhmäjärjestelmään \
ratkaisu
huomaa, että tässä systeemissä on \(m = 2\) yhtälöt ja \(n = 3\) muuttujat, joten \(n>m\). Siksi odotamme, että tässä järjestelmässä on edellisen keskustelumme perusteella äärettömän monta ratkaisua.
prosessi, jolla etsimme ratkaisuja homogeeniselle yhtälöryhmälle, on sama prosessi, jota käytimme edellisessä jaksossa. Ensin rakennamme laajennetun matriisin, joka on annettu\\], sitten teemme tämän matriisin sen alla annettuun. \\] Vastaava yhtälöryhmä on\, koska \(z\) ei ole minkään yhtälön rajoittama, tiedämme, että tästä muuttujasta tulee parametrimme. Olkoon \(z=t\) missä \(t\) on mikä tahansa luku. Siksi ratkaisumme on muotoa\, joten tässä järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua, jossa on yksi parametri \(t\).
Oletetaan, että kirjoitamme ratkaisun edelliseen esimerkkiin toisessa muodossa. Erityisesti \ voidaan kirjoittaa \ = \left + t \left\] huomaa, että olemme rakentaneet sarakkeen ratkaisun vakioista (kaikki yhtä kuin \(0\)), sekä sarakkeen, joka vastaa kertoimia \(t\) kussakin yhtälössä. Vaikka aiomme keskustella tämän muodon ratkaisun lisää luvuissa, nyt harkita sarakkeen kertoimia parametrin \(t\). Tässä tapauksessa tämä on sarake \(\left\).
tälle sarakkeelle on oma erikoisnimensä, joka on perusratkaisu. Järjestelmän perusratkaisut ovat sarakkeita, jotka on rakennettu ratkaisussa olevien parametrien kertoimista. Merkitsemme usein perusratkaisuja \(X_1, X_2\) jne., riippuen siitä, kuinka monta ratkaisua esiintyy. Siksi esimerkissä on perusratkaisu \(X_1 = \left\).
tutkimme asiaa tarkemmin seuraavassa esimerkissä.
esimerkki \(\PageIndex{1}\): homogeenisen järjestelmän perusratkaisuja
tarkastellaan seuraavaa homogeenista yhtälöjärjestelmää. \ Etsi järjestelmän perusratkaisut.
ratkaisu
tämän järjestelmän täydennetty matriisi ja tuloksena olevat ovat \ \rightarrow \cdots \rightarrow \left\] kirjoitettaessa yhtälöissä tämä järjestelmä on \ Notice, että vain \(x\) vastaa pivot-saraketta. Tässä tapauksessa meillä on kaksi parametria, yksi \(y\) ja yksi \(z\). Olkoon \(y = s\) ja \(z=t\) missä tahansa numerossa \(s\) ja \(t\). Sitten ratkaisumme tulee\, joka voidaan kirjoittaa \ = \left + s \left + t \left\] voit nähdä täällä, että meillä on kaksi saraketta kertoimia, jotka vastaavat parametreja, erityisesti yksi \(s\) ja yksi \(t\). Siksi tässä järjestelmässä on kaksi perusratkaisua! Nämä ovat\, X_2 = \left\]
nyt esitämme uuden määritelmän.
määritelmä \(\PageIndex{1}\): Lineaarikombinaatio
olkoon \(X_1,\cdots ,X_n,V\) sarakematriisit. Tällöin \(v\) sanotaan olevan sarakkeiden \(X_1,\cdots , X_n\) lineaarikombinaatio, jos skalaareja on olemassa, \(a_{1},\cdots, a_{n}\) siten, että \
merkittävä tulos tästä osiosta on, että perusliuosten lineaarikombinaatio on jälleen systeemin ratkaisu. Vielä merkittävämpää on, että jokainen ratkaisu voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa näistä ratkaisuista. Siksi, jos otamme lineaarinen yhdistelmä kahden ratkaisun esimerkkinä, tämä olisi myös ratkaisu. Esimerkiksi voidaan ottaa seuraava lineaarikombinaatio
\ + 2 \left = \left\] kannattaa hetki tarkistaa, että \ = \left\]
on itse asiassa systeemin ratkaisu esimerkissä .
toinen tapa selvittää lisää tietoa homogeenisen systeemin ratkaisuista on tarkastella siihen liittyvän kerroinmatriisin sijoitusta. Määrittelemme nyt, mitä tarkoitetaan matriisin listalla.
määritelmä \(\PageIndex{1}\): matriisin sijoitus
olkoon \(a\) matriisi ja katsotaan mikä tahansa \(a\). Sitten \(a\): n johtavien merkintöjen määrä \(r\) ei riipu valitsemastasi, ja sitä kutsutaan \(A\): n arvoksi. Merkitsemme sitä listalla (\(a\)).
vastaavasti pystyimme laskemaan pivot-asemien (tai pivot-sarakkeiden) lukumäärän määrittääksemme \(a\) – arvon.
esimerkki \(\PageIndex{1}\): Löytää sijoitus matriisi
harkitse matriisi \\] mikä on sen sijoitus?
ratkaisu
ensin on löydettävä \(a\). Tavallisen algoritmin kautta huomaamme, että tämä on \\] täällä meillä on kaksi johtavaa merkintää tai kaksi nivelpaikkaa, jotka on esitetty yllä laatikoissa.Arvo \(A\) on \(r = 2.\)
huomaa, että olisimme saavuttaneet saman vastauksen, jos olisimme löytäneet \(a\) sijasta .
Oletetaan, että meillä on \(m\) yhtälöiden homogeeninen systeemi \(n\) muuttujissa, ja oletetaan, että \(n > m\). Edellä olevasta keskustelustamme tiedämme, että tällä järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua. Jos tarkastelemme tämän systeemin kerroinmatriisin arvoa, voimme selvittää vielä enemmän ratkaisusta. Huomaa, että tarkastelemme vain kerroin matriisi, ei koko täydennetty matriisi.
lause \(\PageIndex{1}\): sijoitus ja ratkaisut homogeeniselle järjestelmälle
olkoon \(a\) homogeenista yhtälöjärjestelmää vastaava \(m \times n\) kerroinmatriisi, ja oletetaan \(A\) on sijoitus \(r\). Sitten, ratkaisu vastaavan järjestelmän on \(n-r\) parametrit.
tarkastellaan yllä olevaa esimerkkiämme tämän lauseen yhteydessä. Tässä esimerkissä systeemillä on \(m = 2\) yhtälöt \(N = 3\) muuttujissa. Ensinnäkin, koska \(n>m\), tiedämme, että systeemillä on nontriviaalinen ratkaisu, ja siksi äärettömän monta ratkaisua. Tämä kertoo meille, että ratkaisu sisältää ainakin yhden parametrin. Kerroinmatriisin sijoitus voi kertoa ratkaisusta vielä enemmän! Systeemin kerroinmatriisin arvo on \(1\), sillä siinä on yksi johtava sisäänpääsy. Lause kertoo, että ratkaisulla on \(n-r = 3-1 = 2\) parametrit. Voit tarkistaa, että tämä on totta ratkaisu esimerkki .
huomaa, että jos \(n=m\) tai \(n<m\), on mahdollista saada joko uniikki ratkaisu (joka on triviaali ratkaisu) tai äärettömän monta ratkaisua.
emme rajoitu tässä homogeenisiin yhtälöryhmiin. Matriisin arvoa voidaan käyttää minkä tahansa lineaaristen yhtälöiden järjestelmän ratkaisuihin. Edellisessä osassa keskustelimme siitä, että yhtälöiden järjestelmällä ei voi olla ratkaisua, ainutlaatuista ratkaisua tai äärettömän monta ratkaisua. Oletetaan, että järjestelmä on johdonmukainen, onko se homogeeninen tai ei. Seuraava lause kertoo meille, miten voimme käyttää listalla oppia tyyppi ratkaisu meillä on.
lause \(\PageIndex{1}\): sijoitus ja ratkaisut johdonmukaiseen Yhtälöjärjestelmään
olkoon \(A\) \(M \times \left( n+1 \right)\) lisätty matriisi, joka vastaa \(n\) muuttujien yhtälöjärjestelmää, ja oletetaan, että \(A\) on listalla \(r\). Silloin
-
järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua, jos \(r <n\)
järjestelmällä on ainutkertainen ratkaisu, jos \(r = n\)
emme esitä tästä virallista todistusta, vaan tarkastelemme seuraavia keskusteluja.
-
ei ratkaisua yllä oleva lause olettaa, että systeemi on johdonmukainen eli että sillä on ratkaisu. Osoittautuu, että systeemin, jossa ratkaisua ei ole, lisätyllä matriisilla voi olla jokin arvo \(r\) niin kauan kuin \(R>1\). Siksi meidän on tiedettävä, että järjestelmä on johdonmukainen, jotta voidaan käyttää tätä teoreemaa!
-
ainutlaatuinen ratkaisu oletetaan \(r=n\). Sitten, on pivot kanta jokaisessa sarakkeessa kerroin matriisi \(a\). Siksi on olemassa ainutlaatuinen ratkaisu.
-
äärettömän monta ratkaisua oletetaan \(r<n\). Sitten on äärettömän monta ratkaisua. On vähemmän kääntyviä kantoja (ja siten vähemmän johtavia merkintöjä) kuin sarakkeita, mikä tarkoittaa, että jokainen sarake ei ole kääntyvä sarake. Sarakkeet, jotka ovat \(ei\) pivot sarakkeita, vastaavat parametreja. Itse asiassa, tässä tapauksessa meillä on \(n-r\) parametrit.