introduktion
- hvis det er en fysisk mængde, som stress, så kaldes det normalt en tensor.Hvis det ikke er en fysisk mængde, kaldes det normalt en matrice.
- langt de fleste tekniske tensorer er symmetriske. En fælles mængdeder ikke er symmetrisk og ikke omtales som en tensor, er en rotationsmatrice.
- tensorer er faktisk enhver fysisk størrelse, der kan repræsenteres af en skalar, vektor eller matrice.Nulordens tensorer, som masse, kaldes skalarer, mens 1.ordens tensorer kaldes vektorer.Eksempler på højere ordens tensorer inkluderer stress, belastning og stivhed tensorer.
- rækkefølgen eller rangeringen af en matrice eller tensor er antallet af abonnementerden indeholder. En vektor er en 1. rang tensor. En 3H3 stress tensor er 2. rang.
- Koordinattransformationer af tensorer diskuteres detaljeret her.
Identitetsmatrice
identitetsmatricen er
\\]
at multiplicere noget med identitetsmatricen er som at multiplicere med en.
Tensor Notation
identitetsmatricen i tensor notationer simpelthen \( \delta_{IJ} \).Det er Kronecker-deltaet, der svarer til 1 når \ (i = j \) og 0 ellers.
er det en matrice eller ej?
en note fra puristerne… Identitetsmatricen er en matrice, men Kronecker deltateknisk er det ikke. \ (\delta_{IJ} \) er en enkelt skalær værdi, der enten er 1 eller 0 afhængigt af værdierne \(i\) og \(j\). Dette er også grunden til, at tensor notation ikke er fed, fordi den altid henviser til individuelle komponenter i tensorer, men aldrigtil en tensor som helhed.
Følg dette link for en underholdende diskussion mellem en person, der får det, og en anden, der ikke gør det.
transponere
transponeringen af en matrice afspejler dens komponenter om hoveddiagonalen. Den transposeof matricen \({\bf A}\) er skrevet \({\bf A}^{ \ !T}\).
transponere eksempel
\,\kV\tekst{derefter}\kV{\bf A}^{ \ !T} = \left\]
Tensor Notation
transponeringen af \(a_{IJ}\) er \(a_{j\,i}\).
determinanter
\
Hvis determinanten af en tensor eller matrice er nul, har den ikke en invers.
Tensor Notation
beregningen af en determinant kan skrives i tensor notation på et par forskellige måder
\ determinanten af produktet af to matricer er den samme som produktet af determinanterne for de to matricer. Med andre ord giver
\
determinanten af en deformationsgradientforholdet mellem initialt og slutvolumen af et differentielt element.
Inverses
den inverse af matricen \({\bf a}\) er skrevet som \({\bf A}^{ \ !-1}\)og har følgende meget vigtige egenskab(se afsnittet om multiplikation nedenfor)
\
Hvis \({\bf B}\) er den inverse af \({\bf A}\), så
\
Tensor Notation
den inverse af \(a_{IJ}\) skrives ofte som \(A^{-1}_{IJ}\).Bemærk, at dette sandsynligvis ikke er strengt korrekt,da hverken \(a_{IJ}\) eller \(A^{-1}_{IJ}\) teknisk set er matricer selv.De er kun komponenter i en matrice. Nå ja…
Den inverse kan beregnes ved hjælp af
\
matricen Inverse hjemmeside
denne side beregner den inverse af en 3H3 matricen.
transponerer af inverser af Transponser af…
den inverse af en transpose af en matrice svarer til transponeringen af en invers af matricen. Da ordren ikke betyder noget, forkortes den dobbelte operationsimpelthen som \({\bf{a}}^{ \ !-T}\).
\
matricer og tensorer tilføjes komponent efter komponent ligesom vektorer.Dette udtrykkes let i tensor notation.
\
Matrice multiplikation (Dot Products)
prikproduktet af to matricer multiplicerer hver række af den første med hver kolonneaf den anden. Produkter er ofte skrevet med en prik i matricen notation som\ ({\bf A} \ cdot {\bf B} \), men nogle gange skrevet uden prikken som \( {\bf a} {\bf B}\). Multiplikationsregler forklares faktisk bedst gennem tensor notation.
\
(Bemærk, at der ikke bruges nogen prik i tensor notation.) \(K\) i begge faktorer indebærer automatisk
\
, som er den første række i den første matrice multipliceret med JTH-kolonnen i den anden matrice. Hvis du for eksempel vil beregne \(C_{23}\), så \(i=2\) og \(j=3\) og
\
denne side beregner prikproduktet af to 3H3 matricer.
Matrice multiplikation er ikke kommutativ
det er meget vigtigt at erkende, at matrice multiplikation ikke er kommutativ, dvs.
\
transponerer og inverser af produkter
transponeringen af et produkt er lig med produktet af transponerer i omvendt rækkefølge, og det inverse af et produkt er lig med produktet af inverserne i omvendt rækkefølge.
Bemærk, at “i omvendt rækkefølge” er kritisk.Dette bruges i vid udstrækning i afsnittene om deformationsgradienter og grønne stammer.
\
dette gælder også for flere produkter. For eksempel
\
produkt med egen transponere
produktet af en matrice og dets egen transpon er altid en symmetrisk matrice.\({\bf A}^T \cdot {\bf a} \)og \({\bf a} \cdot {\bf a}^T\)begge giver symmetriske, selvom forskellige resultater.Dette bruges i vid udstrækning i afsnittene om deformationsgradienter og grønne stammer.
Dobbeltprik produkter
dobbeltprik produkt af to matricer producerer en skalar result.It er skrevet i matricen notation som \({\bf A}: {\bf B}\).Selvom det sjældent bruges uden for kontinuummekanik,er det faktisk ret almindeligt i avancerede anvendelser af lineær elasticitet. For eksempel giver \( {1 \over 2} \sigma : \epsilon \)belastningsenergitætheden i lille skala lineær elasticitet.Endnu en gang er dens beregning bedst forklaret med tensor notation.
\
Da abonnementerne \(i\) og \(j\) vises i begge faktorer, summeres de begge for at give
\