matematik for den liberale kunst Correcisite

udviklingen af et System

vores eget talesystem, der består af de ti symboler {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kaldes det Hindu-arabiske system. Dette er et base-ti (decimal) system, da stedværdier stiger med beføjelser på ti. Desuden er dette system positionelt, hvilket betyder, at placeringen af et symbol har betydning for værdien af dette symbol inden for tallet. For eksempel giver placeringen af symbolet 3 i tallet 435.681 det en værdi, der er meget større end værdien af symbolet 8 i det samme tal. Vi vil undersøge basissystemer mere grundigt senere. Udviklingen af disse ti symboler og deres anvendelse i et positionssystem kommer til os primært fra Indien.

Figur 10. Al-Biruni

det var først i det femtende århundrede, at de symboler, som vi kender i dag, først tog form i Europa. Historien om disse tal og deres udvikling går dog hundreder af år tilbage. En vigtig kilde til information om dette emne er forfatteren al-Biruni, hvis billede er vist i figur 10. Al-Biruni, der blev født i det moderne Usbekistan, havde besøgt Indien ved flere lejligheder og fremsat kommentarer til Det Indiske nummersystem. Når vi ser på oprindelsen af de tal, som al-Biruni stødte på, vi er nødt til at gå tilbage til det tredje århundrede fvt for at udforske deres oprindelse. Det er da, at Brahmi-tallene blev brugt.Brahmi-tallene var mere komplicerede end dem, der blev brugt i vores eget moderne system. De havde separate symboler for tallene 1 til 9 samt forskellige symboler for 10, 100, 1000,…, også for 20, 30, 40,… og andre for 200, 300, 400, …, 900. Brahmi-symbolerne for 1, 2 og 3 er vist nedenfor.

disse tal blev brugt helt op til det fjerde århundrede e.kr. med variationer gennem tid og geografisk placering. For eksempel i det første århundrede e.kr. tog et bestemt sæt Brahmi-tal følgende form:

fra det fjerde århundrede kan du faktisk spore flere forskellige stier, som Brahmi-tallene tog for at komme til forskellige punkter og inkarnationer. En af disse stier førte til vores nuværende talsystem og gik gennem det, der kaldes Gupta-tallene. Gupta-tallene var fremtrædende i en tid styret af Gupta-dynastiet og blev spredt over hele dette imperium, da de erobrede lande i det fjerde til det sjette århundrede. De har følgende form:

hvordan tallene kom til deres Gupta-form er åben for betydelig debat. Mange mulige hypoteser er blevet tilbudt, hvoraf de fleste koger ned til to grundlæggende typer. Den første type hypotese siger, at tallene kom fra de første bogstaver i navnene på tallene. Dette er ikke ualmindeligt . . . de græske tal udviklede sig på denne måde. Den anden type hypotese siger, at de stammer fra et tidligere talesystem. Der er dog andre hypoteser, der tilbydes, hvoraf den ene er af forskeren Ifrah. Hans teori er, at der oprindeligt var ni tal, hver repræsenteret af et tilsvarende antal lodrette linjer. En mulighed er dette:

fordi disse symboler ville have taget meget tid at skrive, udviklede de sig til sidst til kursive symboler, der kunne skrives hurtigere. Hvis vi sammenligner disse med Gupta-tallene ovenfor, Vi kan prøve at se, hvordan den evolutionære proces kunne have fundet sted, men vores fantasi ville være næsten alt, hvad vi skulle stole på, da vi ikke ved nøjagtigt, hvordan processen udfoldede sig.

Gupta-tallene udviklede sig til sidst til en anden form for tal kaldet Nagari-tallene, og disse fortsatte med at udvikle sig indtil det ellevte århundrede, på hvilket tidspunkt de så sådan ud:

Bemærk, at symbolet for 0 på dette tidspunkt er dukket op! Mayaerne i Amerika havde et symbol for nul længe før dette, imidlertid, som vi skal se senere i kapitlet.

disse tal blev vedtaget af araberne, sandsynligvis i det ottende århundrede under islamiske indtrængen i den nordlige del af Indien. Det menes, at araberne var medvirkende til at sprede dem til andre dele af verden, herunder Spanien (Se nedenfor).

andre eksempler på variationer op til det ellevte århundrede inkluderer:

Figur 11. Devangari, ottende århundrede

Figur 12. Vestarabisk Gobar, tiende århundrede

figur 13. Spanien, 976 fvt

endelig viser figur 14 forskellige former for disse tal, da de udviklede sig og til sidst konvergerede til det femtende århundrede i Europa.

figur 14.

romertal

det numeriske system repræsenteret af romertal stammer fra det gamle Rom (753 f. kr.–476 e. kr.) og forblev den sædvanlige måde at skrive tal på i hele Europa langt ind i slutningen af middelalderen (generelt omfattende det 14. og 15. århundrede (c. 1301-1500)). Tal i dette system er repræsenteret af kombinationer af bogstaver fra det latinske alfabet. Romertal, som bruges i dag, er baseret på syv symboler:

brugen af romertal fortsatte længe efter det romerske imperiums tilbagegang. Fra det 14.århundrede begyndte romertal i de fleste sammenhænge at blive erstattet af de mere bekvemme Hindu-arabiske tal; denne proces var imidlertid gradvis, og brugen af romertal fortsætter i nogle mindre applikationer den dag i dag.

tallene 1 til 10 udtrykkes normalt i romertal som følger:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, ik, H.

tal dannes ved at kombinere symboler og tilføje værdierne, så II er to (to) og niii er tretten (en ti og tre). Fordi hvert tal har en fast værdi i stedet for at repræsentere multipla på ti, et hundrede og så videre, er der ifølge position ikke behov for “sted at holde” nuller, som i tal som 207 eller 1066; disse tal er skrevet som CCVII (to hundrede, en fem og to) og MLKSVI (tusind, en halvtreds, en ti, en fem og en).

symboler placeres fra venstre mod højre i rækkefølge af værdi, begyndende med den største. I nogle få specifikke tilfælde anvendes subtraktiv notation for at undgå, at fire tegn gentages i rækkefølge (f. eks. IIII eller…): som i denne tabel:

In summary:en mindre, så fire er IV (en mindre end fem) og ni er ik (en mindre end ti)

prøv det

moderne brug

af det 11.århundrede, Hindu–arabiske tal var blevet introduceret i Europa fra Al-Andalus, ved hjælp af arabiske handlende og aritmetiske afhandlinger. Romerske tal viste sig imidlertid meget vedholdende og forblev i almindelig brug i Vesten langt ind i det 14.og 15. århundrede, selv i regnskabs-og andre forretningsregistre (hvor de faktiske beregninger ville være foretaget ved hjælp af en kulramme). Udskiftning af deres mere bekvemme” Arabiske ” ækvivalenter var ret gradvis, og romerske tal bruges stadig i dag i visse sammenhænge. Et par eksempler på deres nuværende anvendelse er:

spansk Real ved hjælp af “IIII” i stedet for IV

• navne på monarker og paver, f. eks.disse kaldes regnal tal; f. eks. II udtales “den anden”. Denne tradition begyndte sporadisk i Europa i middelalderen og fik kun udbredt anvendelse i England under Henry VIII ‘ s regeringstid. Tidligere var monarken ikke kendt af tal, men af en epitet som f.eks. Karl IV af Spanien og Louis af Frankrig) synes at have foretrukket brugen af IIII i stedet for IV på deres mønter (se billedet ovenfor).
• generations suffikser, især i USA, for folk, der deler samme navn på tværs af generationer, f.eks.i den franske republikanske kalender, der blev indledt under den franske Revolution, blev år nummereret med romertal – fra året I (1792), da denne kalender blev introduceret til året 1805, da den blev opgivet.
• produktionsåret for film, tv-udsendelser og andre kunstværker inden for selve værket. Det er blevet foreslået – af BBC nyheder, måske facetisk – at dette oprindeligt blev gjort “i et forsøg på at skjule alderen på film eller tv-programmer.”Udenfor henvisning til arbejdet vil bruge regelmæssige Hindu–arabiske tal.
• timemærker på ure. I denne sammenhæng er 4 normalt skrevet IIII.
• byggeåret på byggeflader og hjørnesten.
• sidenummerering af forord og introduktioner af bøger og undertiden også af bilag.
• bogvolumen og kapitelnumre samt de forskellige handlinger i et teaterstykke (f.eks. akt iii, Scene 2).
• efterfølgere af nogle film, videospil og andre værker (som i Rocky II).
• skitserer, at bruge tal til at vise hierarkiske relationer.
• forekomster af en tilbagevendende stor begivenhed, for eksempel:
  • de olympiske sommer-og Vinterlege (f.eks. De Olympiske Vinterlege; OL i Olympiaden)
  • Superskålen, det årlige mesterskabskamp i National Football League (f. eks. Denne brug har også været inkonsekvent.