Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, arrangeret således, at summen af tal i enhver vandret, lodret eller hoveddiagonal linje altid er det samme nummer (Kraitchik 1942, s. 142; Andreas 1960, s. 1; Gardner 1961, S. 130; Madachy 1979, s. 84; Benson og Jacoby 1981, s. 3; bold og Styrmand 1987, s. 193), kendt som den magiske konstant

hvis hvert nummer i en magisk firkant trækkes fra , opnås en anden magisk firkant kaldet den komplementære magiske firkant. En firkant bestående af fortløbende tal, der starter med 1, er undertiden kendt som en “normal” magisk firkant.

den unikke normale firkant af orden tre var kendt for den gamle kineser, der kaldte det Lo Shu. En version af ordenen-4 magisk firkant med tallene 15 og 14 i tilstødende midterste søjler i den nederste række kaldes D Kurrrers magiske firkant. Magiske firkanter i rækkefølge 3 til 8 er vist ovenfor.

den magiske konstant for en TH ordre generel magisk firkant startende med et heltal og med poster i en stigende aritmetisk serie med forskel mellem udtryk er

(Hunter og madachy 1975).

det er et uløst problem at bestemme antallet af magiske firkanter af en vilkårlig rækkefølge, men antallet af forskellige magiske firkanter (eksklusive dem opnået ved rotation og refleksion) af orden , 2, … er 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, s. 87). De 880 kvadrater af orden fire blev opregnet af Fr R. L. De Bessy i 1693 og er illustreret i Berlekamp et al. (1982, s.778-783). Antallet af magiske firkanter blev beregnet af R. Schroeppel i 1973. Antallet af kvadrater er ikke kendt, men Pinn og Diverkovsky (1998) anslog det til at være ved hjælp af Monte Carlo-simulering og metoder fra statistisk mekanik. Metoder til opregning af magiske firkanter diskuteres af Berlekamp et al. (1982) og på MathPages hjemmeside.

en firkant, der ikke kun er magisk, fordi en eller begge de vigtigste diagonale Summer ikke svarer til den magiske konstant kaldes en semimagisk firkant. Hvis alle diagonaler (inklusive dem, der opnås ved at pakke rundt) af en magisk kvadratsum til den magiske konstant, siges firkanten at være en panmagisk firkant (også kaldet en diabolisk firkant eller pandiagonal firkant). Hvis udskiftning af hvert nummer med dets firkant producerer en anden magisk firkant, siges firkanten at være en bimagisk firkant (eller dobbelt magisk firkant). Hvis en firkant er magisk for og , kaldes det en trimagisk firkant (eller trebly magisk firkant). Hvis alle par af tal symmetrisk overfor centersummen til , siges firkanten at være en associativ magisk firkant.

firkanter, der er magiske under multiplikation i stedet for tilføjelse, kan konstrueres og er kendt som multiplikation magiske firkanter. Derudover kan firkanter, der er magiske under både Tilføjelse og multiplikation, konstrueres og er kendt som addition-multiplikation magiske firkanter (Hunter and Madachy 1975).

Kraitchik (1942) giver generelle teknikker til konstruktion af lige og ulige kvadrater af orden. For odd kan en meget ligetil teknik kendt som den siamesiske metode anvendes som illustreret ovenfor (Kraitchik 1942, s.148-149). Det begynder med at placere en 1 i den midterste firkant i den øverste række og derefter trinvist placere efterfølgende tal i firkanten en enhed over og til højre. Tællingen er viklet rundt, så at falde fra toppen vender tilbage på bunden og falder fra højre vender tilbage til venstre. Når der opstår en firkant, der allerede er udfyldt, placeres det næste nummer i stedet under det forrige, og metoden fortsætter som før. Metoden, også kaldet De la Loubere ‘ s metode, påstås at være først rapporteret i Vesten, da de la Loubere vendte tilbage til Frankrig efter at have tjent som ambassadør i Siam.

en generalisering af denne metode bruger en “almindelig vektor”, der giver forskydningen for hvert ikke-kolliderende træk og en” break vector”, der giver forskydningen til at introducere ved en kollision. Den standard Siamesiske metode har derfor almindelig vektor (1, og brudvektor (0, 1). For at dette kan producere en magisk firkant, skal hver pausebevægelse ende på en uudfyldt celle. Særlige klasser af magiske firkanter kan konstrueres ved at overveje de absolutte Summer og . Kald sæt af disse tal sumdiffs (beløb og forskelle). Hvis alle sumdiffs er relativt primære til og firkanten er en magisk firkant, så er firkanten også en panmagic firkant. Denne teori stammer fra De la Hire. Følgende tabel giver sumdiffs for bestemte valg af almindelige og break vektorer.

en anden metode til generering af magiske firkanter af ulige orden er blevet diskuteret af J. H. conve under navnet “sugetablet” – metoden. Som illustreret ovenfor er de ulige tal i denne metode opbygget langs diagonale linjer i form af en diamant i den centrale del af firkanten. De lige tal, der blev savnet, tilføjes derefter sekventielt langs fortsættelsen af diagonalen opnået ved at vikle rundt om firkanten, indtil den indpakkede diagonal når sit oprindelige punkt. I ovenstående firkant udfylder den første diagonal derfor 1, 3, 5, 2, 4, den anden diagonal udfyldes 7, 9, 6, 8, 10, og så videre.

en elegant metode til konstruktion af magiske firkanter med dobbelt jævn rækkefølgeer at tegnes gennem hver subfirkant og udfyld alle firkanter i rækkefølge. Udskift derefter hver post på en krydset diagonal med eller omvendt omvendt rækkefølgen af de krydsede poster. I ovenstående eksempel for er de krydsede tal oprindeligt 1, 4,…, 61, 64, så Post 1 erstattes med 64, 4 med 61 osv.

en meget elegant metode til konstruktion af magiske firkanter af enkeltvis lige ordenmed (der er ingen magisk firkant i orden 2) skyldes J. H. conve, der kalder det “luksus” – metoden. Opret et array bestående af rækker af s, 1 række af os og rækker af s, hele længden . Udskift midten U med L over den. Generer nu den magiske firkant i orden ved hjælp af den siamesiske metode centreret om arrayet af bogstaver (startende i midten af den øverste række), men udfyld hvert sæt med fire firkanter, der omgiver et bogstav sekventielt i henhold til den rækkefølge, der er foreskrevet af brevet. Denne rækkefølge er illustreret på venstre side af ovenstående figur, og den færdige firkant er illustreret til højre. “Figurerne” på bogstaverne L, U og H antyder naturligvis påfyldningsrækkefølgen, deraf navnet på algoritmen.

variationer på magiske firkanter kan også konstrueres ved hjælp af bogstaver (enten ved at definere firkanten eller som poster i den), såsom den alfamagiske firkant og templar magiske firkant.

forskellige numerologiske egenskaber har også været forbundet med magiske firkanter. Pivari forbinder firkanterne illustreret ovenfor med henholdsvis Saturn, Jupiter, Mars, Solen, Venus, Merkur og Månen. Attraktive mønstre opnås ved at forbinde på hinanden følgende tal i hver af firkanterne (med undtagelse af solens magiske firkant).