for nylig tænkte jeg på forskellige begrundelser for definitionen af 0! (factorial af nul) som er
$$0!=1$$
den antagede værdi af 1 kan virke ret åbenlyst, hvis du overvejer den rekursive formel. Det tilfredsstillede mig dog ikke”matematisk”. Derfor besluttede jeg at skrive disse få sætninger. Jeg vil give motivationer for de mindre avancerede, men der vil også være motivationer for lidt flere insidere.
krit factorial in Scalar Calculator
krit factorial and recidiv
for heltal n > 0 factorial er defineret som følger
$$n!=n \ times (n-1)\times (n-2) \times \ldots\times 2 \ times 1$$
med lethed kan du se, at nedenstående rekursive formel følger
$$n!= n \ gange (n-1)!$ $
$$1!=1$$
lig 0! = 1-motivation baseret på gentagelse
lille transformation af
$$n!= n \ gange (n-1)!$ $
giver
$$(n-1)!= \ frac{n!}{n}$ $
udskiftning af n = 1
$$(1-1)!= \ frac{1!}{1}$ $
$ $ 0!=1!=1$$
denne forklaring, selvom den er let, giver ikke (efter min mening) dyb nok forståelse af “hvorfor dette skulle være den bedste mulighed”.
kriptorial n! tæller de mulige forskellige sekvenser af N forskellige objekter (permutationer)
lad os antage, at vi har et sæt,der indeholder n elementer
$$\{1,2,\ldots, n\}$$
lad NU”s tælle mulig rækkefølge af elementer er dette sæt
- n måder at vælge første element på (fordi vi har hele sættet tilgængeligt)
- n-1 måder at vælge andet element på (fordi den første allerede var valgt, er der n-1 venstre)
- n-2 måder at vælge tredje element (fordi de to allerede var valgt, er der n-2 venstre)
- …
- n- (k-1) måder at vælge elementnummer k (fordi k-1 allerede var valgt, forbliver n – (k-1)
- 2 måder at vælge elementnummer n-1 (fordi n-2 blev valgt, stadig 2 forbliver)
- 1 måde at vælge elementnummer n (fordi n-1 blev valgt, forblev kun en)
endelig tæller vi alle mulige måder, vi får
$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \gange 2\gange 1=n!$ $
konklusion: Factorial af n tæller antallet af permutation af et sæt indeholdende N elementer.
Lira k-permutationer af n kaldes undertiden partielle permutationer eller variationer
K-permutationerne af n er de forskellige ordnede arrangementer af en k-element delmængde af et n-sæt. Antallet af sådanne k-permutationer af n er
$$P_k^n = n \ gange (n-1)\gange (n-2)\gange\ldots \gange\bigg(n-(k-1) \bigg) = \ frac{n!} {(n-k)!} $$
det er let at se, at n-permutation af n er en permutation, så
$$P_n^n=n!$$
$$n! = \ frac{n!} {(n-n)!} = \ frac{n!}{0!} $$
den næste indsigt hvorfor 0!=1 er den korrekte definition kommer fra det for enhver n > 0 vi skulle have
$$0! \ gange n! = n!$ $
list funktion som et sæt kortlægning
funktion
$ $f:A\to B$$
funktion f : a Kurr B, hvor der for hver a kurr A er f(A) = B kurr B, definerer forholdet mellem elementerne A og b. Vi kan sige, at elementerne a kurr A og b kurr B er i forhold “f”, hvis og kun hvis f(A) = B.
liter funktion som en delmængde af kartesisk produkt
funktion er en binær relation, hvilket betyder funktion kan udtrykkes som en delmængde af et kartesisk produkt.
$$(A,b)\i f \delmængde A\gange B \iff f(A)=b$$
ret injective Function
injektiv funktion er en funktion, der bevarer særpræg: den kortlægger aldrig forskellige elementer i sit domæne til det samme element i dets codomain. Kort
$$s\Nek y \højre pil f(S)$$
lys surjektiv funktion
en funktion f er surjektiv(eller på), hvis der for hvert element B i codomain er mindst et element a i domænet sådan, at F (A)=B . Det er ikke nødvendigt at være unik.
$ $ f:A\til B$$
$${\large \displaystyle\forall_{b \in B} \fird\displaystyle\eksisterer_{A\in a}\fird}f(A)=b$$
ret bijektiv funktion
bijektiv funktion eller en-til-en korrespondance er en funktion, hvor hvert element i et sæt er parret med nøjagtigt et element i det andet sæt, og hvert element i det andet sæt er parret med nøjagtigt et element i det første sæt. Der er ingen uparrede elementer.
i matematiske termer er en bijektiv funktion både injektiv og surjektiv kortlægning af et sæt A til et sæt B.
ret bijektiv funktion vs permutation
permutation er en funktion, der returnerer rækkefølgen af et sæt, dvs.hvis vi betragter n-elementsættet {1, 2, …, n} så vil permutation være en funktion
$$p:\{1, 2, …, n\}\til\{1, 2, …, n\}$$
opfylder den bijektive funktionstilstand.
Ved at spørge om antallet af permutationer kan vi ligeledes spørge om antallet af forskellige bijektioner fra et givet sæt i sig selv.
log tom funktion
en tom funktion er hver funktion, hvis domæne er et tomt sæt.
$$f:\emptyset\to B$$
den tomme funktion “diagram” er et tomt sæt, da det kartesiske produkt af Domæne og codomain er tomt.
$$\emptyset\times B = \emptyset$$
den tomme funktion bevarer særpræg (er injektiv), fordi der i domænet (et tomt sæt) ikke er to forskellige elementer, for hvilke værdien af funktionen er ens.
ret et specielt tilfælde af en tom funktion
lad os analysere den funktion, der kortlægger Tom til Tom sæt
$ $f:\emptyset \ til \ emptyset$$
en sådan funktion er en vedektion, fordi den er injektiv funktion (som vist ovenfor), og der er ikke noget element i codomain (codomain er et tomt sæt), der ikke er i forhold til elementerne i domænet.
bemærk, at der er nøjagtigt en sådan bijektion, hvilket er et resultat af, at funktionen er en delmængde af det kartesiske produkt af Domæne og codomain. I dette tilfælde er dette kun et muligt sæt.
$ $ f:\emptyset \ to\emptyset$$
$$\emptyset\times \emptyset = \ emptyset$$
det tomme sæt har nøjagtigt en delmængde, som er det tomme sæt – således er en sådan vedektion entydigt defineret.
0! = 1 vs Tom funktion
Jeg skrev ovenfor, at antallet af permutationer af et n-element sæt svarer til antallet af forskellige bijektive funktioner fra dette sæt i sig selv.
efter-permutationen af 0-element sæt svarer til bijektionen fra et tomt sæt til det tomme sæt /
det specielle tilfælde af Tom funktion er kun 1 – og jeg fremlagde beviset for, at der kun findes en sådan funktion.
temmelig dyb indsigt hvorfor 0! bør ved 1.
Karl Gamma-funktionen
i matematik er gamma-funktionen en af udvidelserne af den faktorielle funktion med dens argument forskudt med 1 til reelle og komplekse tal.
$$ \ Gamma(å)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{å-1}e^{-T}dt$$
efter integration af dele får vi den rekursive formel
$$\Gamma(å+1)=å\cdot\Gamma(å)$$
lad os se værdien af
$$\Gamma (1)=?$ $
$$ \ Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt$$
efter
$$\Gamma(n+1)=n!$ $
$ $ 0! = \Gamma(1) = 1$$
⭐️ Scalar support for the Gamma function
Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function
- Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
- sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
- logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
- diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
- GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
- GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
- GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
- GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)
Gamma function chart
Gamma function vs Factorial chart
list number E and factorial relation
baseret på Taylor-seriens udvidelse af e^det er let at vise, at
$$e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}+\ldots$$
Sequence convergence
This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e
Thanks for reading! All the best 🙂