en funktion relaterer et input til et output.
 |
det er som en maskine, der har en indgang og en udgang. og output er på en eller anden måde relateret til input. |
| f(H) |
“f(H) = … “er den klassiske måde at skrive en funktion på. |
Input, relation, Output
vi vil se mange måder at tænke på funktioner, men der er altid tre hoveddele:
- input
- forholdet
- output
eksempel: “multiplicer med 2” er en meget enkel funktion.
Her er de tre dele:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
nogle eksempler på funktioner
- H2 (kvadrering) er en funktion
- H3+1 er også en funktion
- sinus, cosinus og Tangent er funktioner, der anvendes i trigonometri
- og der er meget mere!
men vi vil ikke se på specifikke funktioner …
… i stedet vil vi se på den generelle ide om en funktion.
Navne
for det første er det nyttigt at give en funktion et navn.
det mest almindelige navn er” f”, men vi kan have andre navne som” g”… eller endda” marmelade”, hvis vi vil.
men lad os bruge “f”:
Vi siger “f er lig med kvadreret”
hvad der går ind i funktionen sættes inden for parenteser () efter navnet på funktionen:
så f(H) viser os funktionen kaldes “f”, og “H” går ind
og vi ser normalt, hvad en funktion gør med input:
f(h) = H2 viser os, at funktionen “f” tager “H” og firkanter den.
eksempel: med f (H) = H2:
- en indgang på 4
- bliver en udgang på 16.
faktisk kan vi skrive f (4) = 16.
“H” er bare en pladsholder!
bliv ikke for bekymret over “h”, det er bare der for at vise os, hvor input går, og hvad der sker med det.
det kunne være noget!
så denne funktion:
f(K) = 1 – K + K2
er den samme funktion som:
- f(K) = 1 – K + K2
- h(A) = 1 – A + A2
- b(k) = 1 – K + K2
variablen (K, K, A osv) er bare der, så vi ved, hvor vi skal sætte værdierne:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
nogle gange er der ingen Funktionsnavn
Nogle gange har en funktion ikke noget navn, og vi ser noget som:
y = H2
men der er stadig:
- et input (h)
- et forhold (kvadrering)
- og et output (y)
relateret
øverst sagde vi, at en funktion var som en maskine. Men en funktion har ikke rigtig bælter eller tandhjul eller bevægelige dele – og det ødelægger faktisk ikke det, vi lægger i det!
en funktion relaterer et input til et output.
at sige “f (4) = 16” er som at sige 4 er på en eller anden måde relateret til 16. Eller 4 til 16
eksempel: dette træ vokser 20 cm hvert år, så træets højde er relateret til dets alder ved hjælp af funktionen h:
h(alder) = aldersløg 20
så hvis alderen er 10 år, er højden:
h(10) = 10 liter 20 = 200 cm
Her er nogle eksempelværdier:
| alder | h(alder) = alder 20 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 | 3.2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
“Numbers” seems an obvious answer, but …
 |
… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
 |
… det kan også være bogstaver (“A” – kur”B”) eller ID-koder (“A6309” kur “Pass”) eller stranger things. |
så vi har brug for noget mere kraftfuldt, og det er her sæt kommer ind:
 |
et sæt er en samling af ting.Her er nogle eksempler:
|
hver enkelt ting i sættet (såsom “4” eller “hat”) kaldes et medlem eller element.
så en funktion tager elementer af et sæt og giver tilbage elementer af et sæt.
en funktion er speciel
men en funktion har særlige regler:
- det skal fungere for enhver mulig inputværdi
- og det har kun et forhold for hver inputværdi
dette kan siges i en definition:
formel Definition af en funktion
en funktion relaterer hvert element i et sæt
med nøjagtigt et element i et andet sæt
(muligvis det samme sæt).
De to vigtige ting!
|
“…hvert element…”betyder, at hvert element i H er relateret til et element i Y. Vi siger, at funktionen dækker h (relaterer hvert element af det). (men nogle elementer af Y er muligvis slet ikke relateret til, hvilket er fint.) |
|
“…præcis en…”betyder, at en funktion er enkelt værdsat. Det vil ikke give tilbage 2 eller flere resultater for den samme input. så “f (2) = 7 eller 9” er ikke rigtigt! |
|
” en-til-mange “er ikke tilladt, men” mange-til-en ” er tilladt: |
||
 |
 |
|
| (en til-mange) | (mange-til-en) | |
| dette er ikke ok i en funktion | men dette er OK i en funktion | |
når et forhold ikke følger disse to regler, er det ikke en funktion … det er stadig et forhold, bare ikke en funktion.
eksempel: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- hvert element i S er relateret til Y
- intet element i S har to eller flere forhold
så det følger reglerne.
(bemærk, hvordan både 4 og -4 vedrører 16, hvilket er tilladt.)
eksempel: dette forhold er ikke en funktion:
det er et forhold, men det er ikke en funktion af disse grunde:
- værdi “3” har ingen relation I Y
- værdi “4” har ingen relation I Y
- værdi “5” er relateret til mere end en værdi i Y
(men det faktum, at “6” I Y ikke har noget forhold, betyder ikke noget)
lodret linjetest
på en graf betyder ideen om enkeltværdi, at ingen lodret linje nogensinde krydser mere end en værdi.
Hvis den krydser mere end en gang, er den stadig en gyldig kurve, men er ikke en funktion.
nogle typer funktioner har strengere regler, for at finde ud af mere kan du læse injektive, Surjektive og Bijektive
uendeligt mange
mine eksempler har kun et par værdier, men funktioner fungerer normalt på sæt med uendeligt mange elementer.
eksempel: y = H3
- inputsættet “H” er alle reelle tal
- outputsættet “Y” er også alle de reelle tal
Vi kan ikke vise alle værdierne, så her er blot nogle få eksempler:
| s: s | y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
domæne, Codomain og Range
i vores eksempler ovenfor
- Sættet “h” kaldes domænet,
- Sættet “Y” kaldes Codomain, og
- det sæt af elementer, der bliver peget på I Y (de faktiske værdier, der er produceret af de to elementer, der er funktion) kaldes området.
Vi har en særlig side om domæne, rækkevidde og Codomain, hvis du vil vide mere.
så mange navne!
funktioner er blevet brugt i matematik i meget lang tid, og der er sket mange forskellige navne og måder at skrive funktioner på.
Her er nogle almindelige udtryk, du skal blive fortrolig med:
eksempel: å = 2U3:
- “u” kunne kaldes den “uafhængige variabel”
- “å” kunne kaldes den “afhængige variabel” (det afhænger af værdien af u)
eksempel: f(4) = 16:
- “4” kunne kaldes “argumentet”
- “16” kunne kaldes “værdi af funktionen”
eksempel: h(år) = 20:
- h() er funktionen
- “år” kan kaldes “argumentet”, eller “variablen”
- en fast værdi som “20” kan kaldes en parameter
vi kalder ofte en funktion “f(h)”, Når funktionen faktisk er “F”, eller “variablen”
virkelig” F “
bestilte par
og her er en anden måde at tænke på funktioner:
skriv input og output af en funktion som et “bestilt par”, såsom (4,16).
de kaldes ordnede par, fordi input altid kommer først, og output andet:
(input, output)
så det ser sådan ud:
( H, f(H) )
eksempel:
(4,16) betyder, at funktionen tager “4” og giver ud “16”
sæt af bestilte par
en funktion kan derefter defineres som et sæt bestilte par:
eksempel: {(2,4), (3,5), (7,3)} er en funktion, der siger
“2 er relateret til 4”, “3 er relateret til 5” og “7 er relateret 3”.
Bemærk også, at:
- domænet er {2,3,7} (inputværdierne)
- og området er {4,5,3} (outputværdierne)
men funktionen skal være enkelt værdsat, så vi siger også
“Hvis det indeholder (A, b) og (A, c), så skal b være lig med c”
hvilket kun er en måde at sige, at et input på “A” kan ikke give to forskellige resultater.
eksempel: {(2,4), (2,5), (7,3)} er ikke en funktion, fordi {2,4} og {2,5} betyder, at 2 kan relateres til 4 eller 5.
med andre ord er det ikke en funktion, fordi den ikke er enkelt værdsat
en fordel ved bestilte par
Vi kan tegne dem…
… fordi de også er koordinater!
så et sæt koordinater er også en funktion (hvis de følger ovenstående regler, det vil sige)
en funktion kan være i stykker
Vi kan oprette funktioner, der opfører sig forskelligt afhængigt af inputværdien
eksempel: en funktion med to stykker:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
 |
Here are some example values:
|
Læs mere på stykkevis funktioner.
eksplicit vs Implicit
et sidste emne: udtrykkene “eksplicit” og “implicit”.
eksplicit er, når funktionen viser os, hvordan vi går direkte fra Y til y, såsom:
y = 3 − 3
Når vi kender Y, kan vi finde y
det er den klassiske y = F(H) stil, som vi ofte arbejder med.
Implicit er, når det ikke gives direkte, såsom:
H2 – 3H + y3 = 0
når vi ved h, hvordan finder vi y?
det kan være svært (eller umuligt!”Implicit” kommer fra “implicit”, med andre ord vist indirekte.
Graphing
- funktionen Grapher kan kun håndtere eksplicitte funktioner,
- ligningen Grapher kan håndtere begge typer (men tager lidt længere tid, og nogle gange får det forkert).
konklusion
- en funktion relaterer input til output
- en funktion tager elementer fra et sæt (domænet) og relaterer dem til elementer i et sæt (codomain).
- alle udgange (de faktiske værdier relateret til) kaldes sammen området
- en funktion er en speciel type relation, hvor:
- hvert element i domænet er inkluderet, og
- ethvert input producerer kun en output (ikke dette eller det)
- et input og dets matchende output kaldes sammen et ordnet par
- så en funktion kan også ses som et sæt ordnede par