grænseløs Algebra

Ændringshastigheder

lineære funktioner gælder for virkelige verdensproblemer, der involverer en konstant hastighed.

nøgle grillbarer

nøglepunkter

• hvis du ved, at et virkeligt problem er lineært, såsom den afstand, du rejser, når du går på en løbetur, kan du tegne funktionen og tage nogle antagelser med kun to punkter.
• hældningen af en funktion er den samme som ændringshastigheden for den afhængige variabel (y). For eksempel, hvis du tegner afstand vs. tid, så er hældningen, hvor hurtigt din afstand ændrer sig med tiden, eller med andre ord din hastighed.

nøgleudtryk

• ændringshastighed: forholdet mellem to relaterede mængder, der ændrer sig.
• lineær ligning: en polynomligning af den første grad (f.eks.
• hældning: forholdet mellem de lodrette og vandrette afstande mellem to punkter på en linje; nul, hvis linjen er vandret, udefineret, hvis den er lodret.

ændringshastighed

lineære ligninger inkluderer ofte en ændringshastighed. For eksempel kaldes den hastighed, hvormed afstanden ændres over tid, hastighed. Hvis to tidspunkter og den samlede tilbagelagte afstand er kendt, kan ændringshastigheden, også kendt som hældning, bestemmes. Fra denne information kan en lineær ligning skrives, og derefter kan forudsigelser foretages fra ligningen af linjen.

Hvis den enhed eller mængde, som noget ændrer sig, ikke er angivet, er satsen normalt pr. Den mest almindelige type hastighed er “pr.tidsenhed”, såsom hastighed, puls og strømning. Forhold, der har en ikke-tidsnævner, inkluderer valutakurser, læsefærdighed og elektrisk felt (i volt/meter).

i beskrivelsen af enhederne for en hastighed bruges ordet ” per “til at adskille enhederne for de to målinger, der bruges til at beregne hastigheden (for eksempel udtrykkes en puls”slag pr.minut”).

ændringshastighed: Virkelige verden ansøgning

en atlet begynder han normal praksis for den næste maraton i løbet af aftenen. 6: 00 begynder han at løbe og forlader sit hjem. 7: 30 afslutter atleten løbet hjemme og har kørt i alt 7,5 miles. Hvor hurtig var hans gennemsnitlige hastighed i løbet af løbet?

ændringshastigheden er hastigheden på hans løb; afstand over tid. De to variabler er tid (Y) og afstand (y). Det første punkt er i hans hus, hvor hans ur læste 6:00 pm. Dette er begyndelsestidspunktet, så lad os indstille det til 0. Så vores første punkt er (0,0), fordi han ikke løb nogen steder endnu. Lad os tænke på vores tid i timer. Vores andet punkt er 1,5 timer senere, og vi løb 7,5 miles. Det andet punkt er (1.5, 7.5). Vores hastighed (ændringshastighed) er simpelthen hældningen af linjen, der forbinder de to punkter. Hældningen, givet af: m = \frac{y_{2} – y_{1}} {{2} – {1}} bliver m = \frac{7.5}{1.5}=5 miles i timen.

eksempel: graf linjen, der illustrerer hastighed

for at tegne denne linje har vi brug for y-skæringspunktet og hældningen for at skrive ligningen. Hældningen var 5 miles i timen, og da udgangspunktet var ved (0,0), er y-skæringspunktet 0. Så vores endelige funktion er y=5h.

med denne nye funktion kan vi nu besvare nogle flere spørgsmål.

• hvor mange miles løb han efter den første halve time? Ved hjælp af ligningen, hvis=\frac{1}{2}, løse for y. hvis y=5 gange, så y=5(0,5)=2,5 miles.
• hvis han fortsatte med at køre i samme tempo i alt 3 timer, hvor mange miles vil han have kørt? Hvis Y=3, skal du løse for y. hvis y=5 gange, så y=5 (3)=15 miles.

der er mange sådanne applikationer til lineære ligninger. Alt, der involverer en konstant ændringshastighed, kan repræsenteres pænt med en linje med hældningen. Faktisk, så længe du kun har to punkter, hvis du ved, at funktionen er lineær, kan du tegne den og begynde at stille spørgsmål! Bare sørg for, hvad du spørger og graftegning giver mening. For eksempel i marathon-eksemplet er domænet virkelig kun gek0,da det ikke giver mening at gå ind i negativ tid og tabe miles!

lineære matematiske modeller

lineære matematiske modeller beskriver virkelige applikationer med linjer.

nøgle grillbarer

nøglepunkter

• en matematisk model beskriver et system, der bruger matematiske begreber og sprog.
• lineære matematiske modeller kan beskrives med linjer. For eksempel har en bil, der går 50 mph, rejst en afstand repræsenteret af y=50 gange, hvor H er tid i timer og y er miles. Ligningen og grafen kan bruges til at lave forudsigelser.
• virkelige applikationer kan også modelleres med flere linjer, såsom hvis to tog kører mod hinanden. Det punkt, hvor de to linjer krydser hinanden, er det punkt, hvor togene mødes.

nøgleudtryk

• matematisk model: en abstrakt matematisk repræsentation af en proces, enhed eller koncept; det bruger et antal variabler til at repræsentere input, output, interne tilstande og sæt af ligninger og uligheder for at beskrive deres interaktion.
• lineær regression:

matematiske modeller

en matematisk model er en beskrivelse af et system ved hjælp af matematiske begreber og sprog. Matematiske modeller anvendes ikke kun inden for naturvidenskab og ingeniørdiscipliner, men også inden for samfundsvidenskab. Lineær modellering kan omfatte befolkningsændring, telefonopkaldsafgifter, omkostningerne ved at leje en cykel, vægtstyring eller fundraising. En lineær model inkluderer ændringshastigheden (m) og den oprindelige mængde, y-intercept b. Når modellen er skrevet, og der er lavet en graf over linjen, kan en af dem bruges til at forudsige adfærd.

Real Life Linear Model

mange daglige aktiviteter kræver brug af matematiske modeller, måske ubevidst. Et problem med matematiske modeller ligger i at oversætte den virkelige verden ansøgning til en nøjagtig matematisk repræsentation.

eksempel: leje en flyttebil

et udlejningsfirma opkræver et fast gebyr på $30 og yderligere $0,25 pr. Skriv en lineær ligning for at tilnærme omkostningerne y (i dollars) med hensyn til H, antallet af kørte miles. Hvor meget ville en 75 mile tur koste?

Ved hjælp af hældningsafskæringsformen for en lineær ligning med de samlede omkostninger mærket y (afhængig variabel) og miles mærket y (uafhængig variabel):

\displaystyle y=MH+b

de samlede omkostninger er lig med satsen pr. mil gange antallet af kørte miles plus omkostningerne til det faste gebyr:

\displaystyle y=0,25 gange 30

for at beregne omkostningerne ved en 75 Mil trip, erstatte 75 med i ligningen:

\displaystyle \ begin{align} y &&&&=48.75 \end{align}

Real life Model med flere ligninger

det er også muligt at modellere flere linjer og deres ligninger.

eksempel

oprindeligt er tog A og B 325 miles væk fra hinanden. Tog a rejser mod B kl 50 miles i timen og tog B rejser mod a kl 80 miles i timen. Hvornår mødes de to tog? På dette tidspunkt hvor langt kørte togene?

begynd først med togets startpositioner (y-aflytninger, b). Tog a starter er oprindelsen, (0,0). Da tog B er 325 miles væk fra tog a oprindeligt, er dens position (0,325).

for det andet skal du beregne ændringshastigheden for hvert tog for at skrive ligningerne, der repræsenterer hvert togs samlede afstand med hensyn til tid. Da tog a rejser mod tog B, som har en større y-værdi, skal tog A ‘ S ændringshastighed være positiv og lig med dens hastighed på 50. Tog B rejser mod A, som har en mindre y-værdi, hvilket giver B en negativ ændringshastighed: -80.

de to linjer er således:

\displaystyle y_A=50 gange\\

og:

\displaystyle y_B=−80 gange+325

de to tog mødes, hvor de to linjer krydser hinanden. For at finde ud af, hvor de to linjer skærer hinanden, skal ligningerne være lig med hinanden og løse for:

\displaystyle y_{a}=y_{b}

\displaystyle 50h=-80H+325

løsning for H giver:

\displaystyle h=2,5

de to tog mødes efter 2,5 timer. For at finde ud af, hvor dette er, skal du sætte 2.5 i begge ligninger.at tilslutte den til den første ligning giver os 50(2.5)=125, hvilket betyder, at den mødes efter en rejse 125 miles.

Her er afstanden versus tid grafisk model af de to tog:

montering af en kurve

kurvefitting med en linje forsøger at tegne en linje, så den “bedst passer” til alle dataene.

nøgle grillbarer

nøglepunkter

• kurvetilpasning er nyttig til at finde en kurve, der bedst passer til dataene. Dette tillader antagelser om, hvordan dataene groft spredes ud og forudsigelser om fremtidige datapunkter.
• lineær regression forsøger at tegne en linje, der passer bedst til dataene.
• almindelig mindste kvadraters tilnærmelse er en type lineær regression, der minimerer summen af kvadraterne af forskellen mellem den tilnærmede værdi (fra linjen) og den faktiske værdi.
• hældningen af linjen, der tilnærmer sig N datapunkter, er givet af m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}.
• Y-skæringspunktet for den linje, der tilnærmer sig N datapunkter, er givet af: b= \displaystyle{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} S_{i} = \left (\bar{y} – m \bar{H} \right)}

nøglebegreber

• kurvetilpasning: processen med at konstruere en kurve eller en matematisk funktion, der har den bedste pasform til en række datapunkter, muligvis underlagt begrænsninger.
• outlier: en værdi i en statistisk prøve, der ikke passer til et mønster eller beskriver de fleste andre datapunkter.
• mindste kvadraters tilnærmelse: et forsøg på at minimere summen af den kvadratiske afstand mellem det forudsagte punkt og det faktiske punkt.
• lineær regression: en tilgang til modellering af det lineære forhold mellem en afhængig variabel, y og en uafhængig variabel.

kurvetilpasning

kurvetilpasning er processen med at konstruere en kurve eller matematisk funktion, der passer bedst til en række datapunkter, muligvis underlagt begrænsninger. Kurvetilpasning kan involvere enten interpolation, hvor der kræves en nøjagtig pasform til dataene, eller udjævning, hvor en “glat” funktion er konstrueret, der omtrent passer til dataene. Monterede kurver kan bruges som hjælp til datavisualisering, til at udlede værdier for en funktion, hvor der ikke er tilgængelige data, og til at opsummere forholdet mellem to eller flere variabler. Ekstrapolering henviser til brugen af en monteret kurve ud over de observerede datas rækkevidde og er underlagt en større grad af usikkerhed, da den kan afspejle den metode, der bruges til at konstruere kurven, så meget som den afspejler de observerede data.

i dette afsnit vil vi kun tilpasse linjer til datapunkter, men det skal bemærkes, at man kan passe polynomiske funktioner, cirkler, stykkevis funktioner og et hvilket som helst antal funktioner til data, og det er et stærkt brugt emne i statistik.

lineær Regressionsformel

lineær regression er en tilgang til modellering af det lineære forhold mellem en afhængig variabel, y og en uafhængig variabel.

den enkleste og måske mest almindelige lineære regressionsmodel er den almindelige mindste kvadraters tilnærmelse. Denne tilnærmelse forsøger at minimere summen af den kvadratiske afstand mellem linjen og hvert punkt.

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

for at finde hældningen af linjen med den bedste pasform skal du beregne i følgende trin:

1. summen af produktet af koordinaterne h og y \sum_{i=1}^{n}H_{i}y_{i}.
2. summen af koordinaterne \sum_{i=1}^{n}H_{i}.
3. summen af Y-koordinaterne \ sum_{j=1}^{n}y_{j}.
4. summen af kvadraterne af koordinaterne \sum_{i=1}^{n} ({i}^{2}).
5. summen af koordinaterne kvadreret (\sum_{i=1}^{n}H_{i})^{2}.
6. kvotienten for tælleren og nævneren.

\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \ sum_{i=1}^{n} \ sum_{i=1} ^ {n} S_{i} \\& = \left for at finde y – skæringspunktet (B) skal du beregne ved hjælp af følgende trin:

1. gennemsnittet af Y-koordinaterne. Lad \bar{y}, udtalt y-bar, repræsentere middelværdien (eller gennemsnittet) y-værdien af alle datapunkterne: \bar y =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i}.
2. gennemsnittet af koordinaterne. Det er den gennemsnitlige (eller gennemsnitlige) værdi af alle datapunkterne: \bar=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} H_{i}.
3. erstat værdier i formlen ovenfor b= \ bar{y} – m \bar{H}.

Ved hjælp af disse værdier af m og b har vi nu en linje, der tilnærmer punkterne på grafen.

eksempel: skriv den mindste kvadratiske fit-linje, og graf derefter den linje, der bedst passer til dataene

for n=8 point: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) og (6,4).

find først hældningen (m) og y-intercept (b), der bedst tilnærmer disse data, ved hjælp af ligningerne fra det foregående afsnit:

for at finde hældningen skal du beregne:

1. summen af produktet af koordinaterne h og y \sum_{i=1}^{n}H_{i}y_{i}.
2. summen af koordinaterne \sum_{i=1}^{n}H_{i}.
3. summen af Y-koordinaterne \ sum_{i=1}^{n}y_{i}.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \ end{align}

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. I dette tilfælde er det ikke muligt at foretage en beregning af værdien af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af den samlede værdi af p>tælleren i hældningsligningen er:

\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. Beregn nævneren:
summen af kvadraterne af koordinaterne minus en ottendedel summen af de kvadratiske koordinater:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(H_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}H_{i})^{2}

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(S_{i}^{2})&& =92 \ end{align}

nævneren er 92- \ frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 og hældningen er kvotienten for tælleren og nævneren: \frac{23.25}{42} \ ca. 0,554.

nu for y-skæringspunktet, (b) en ottendedel gange gennemsnittet af koordinaterne: \bar {}=\frac{20}{8}=2.5 og en ottendedel gange gennemsnittet af Y-koordinaterne: \bar{y}=\frac{13.5}{8}=1.6875.

derfor b=\frac{1}{n} \ sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \ sum_{i=1}^{n} H_{i} \\:

\ displaystyle b \ til 1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

vores endelige ligning er derfor y=0,554 gange + 0,3025, og denne linje tegnes sammen med punkterne.

Outliers og mindst kvadratisk Regression

Hvis vi har et punkt, der er langt væk fra den tilnærmende linje, vil det skæve resultaterne og gøre linjen meget værre. For eksempel, lad os sige i vores oprindelige eksempel, i stedet for det punkt (-1,0) vi har (-1,6).

Ved hjælp af de samme beregninger som ovenfor med det nye punkt er resultaterne:m\ca.0,0536 og b\Ca.2,3035 for at få den nye ligning y=0,0536 * +2,3035.

Når man ser på punkterne og linjen i den nye figur nedenfor, passer denne nye linje ikke godt til dataene på grund af outlieren (-1,6). Faktisk kan forsøg på at tilpasse lineære modeller til data, der er kvadratiske, kubiske eller noget ikke-lineært, eller data med mange outliers eller fejl resultere i dårlige tilnærmelser.