fysik

Ingen kommentarer
en lang isoleret dobbeltbanevej banket af ufrugtbar jord på begge sider.

Figur 1. Folk kan beskrive afstande forskelligt, men ved relativistiske hastigheder er afstandene virkelig forskellige. (kredit: Corey Leopold, Flickr)

har du nogensinde kørt på en vej, der ser ud til at fortsætte for evigt? Hvis du ser fremad, kan du sige, at du har omkring 10 km tilbage at gå. En anden rejsende kan sige, at vejen fremad ser ud som om den er omkring 15 km lang. Hvis I begge målte vejen, imidlertid, du er enig. Rejser med hverdagshastigheder, den afstand, du begge måler, ville være den samme. Du vil dog læse i dette afsnit, at dette ikke er sandt ved relativistiske hastigheder. Tæt på lysets hastighed er målte afstande ikke de samme, når de måles af forskellige observatører.

korrekt længde

en ting, som alle observatører er enige om, er relativ hastighed. Selvom ure måler forskellige forløbne tider for den samme proces, er de stadig enige om, at relativ hastighed, som er afstand divideret med forløbet tid, er den samme. Dette indebærer, at afstanden også afhænger af observatørens relative bevægelse. Hvis to observatører ser forskellige tidspunkter, skal de også se forskellige afstande for at relativ hastighed skal være den samme for hver af dem.

muon diskuteret i Eksempel 1 i samtidighed og tidsudvidelse illustrerer dette koncept. Til en observatør på Jorden rejser muon på 0,950 c for 7,05 liter fra det tidspunkt, det produceres, indtil det forfalder. Således bevæger den sig en afstand

L0 = v kr = (0,950)(3,00 kr 108 m/s)(7,05 kr 10-6 s) = 2,01 km

i forhold til jorden. I muons referenceramme er dens levetid kun 2,20 kr. Det har tid nok til kun at rejse

L0 = v list0 = (0.950)(3.00-108 m/s)(2.20-10-6 s) = 0.627 km.

afstanden mellem de samme to begivenheder (produktion og henfald af en muon) afhænger af, hvem der måler det, og hvordan de bevæger sig i forhold til det.

korrekt længde

korrekt længde L0 er afstanden mellem to punkter målt af en observatør, der er i ro i forhold til begge punkter.

den jordbundne observatør måler den korrekte længde L0, fordi de punkter, hvor muon produceres og henfalder, er stationære i forhold til jorden. Til muon, jorden, luft, og skyer bevæger sig, og så afstanden l det ser er ikke den rette længde.

delvis observerer en observatør fra jorden referenceramme en muon over jorden med hastighed v i højre retning. Afstanden mellem muonen og det sted, hvor den opløses, er to point nul en. I del b vises systemet i bevægelse med hastighed v i venstre retning. Så er skyen og jorden forskudt nulpunkt seks to syv kilo meter i den modsatte retning.

figur 2. (A) den jordbundne observatør ser muon rejse 2,01 km mellem skyer. (B) muon ser sig selv rejse den samme sti, men kun en afstand på 0,627 km. Jorden, luften og skyerne bevæger sig i forhold til muonen i sin ramme, og alle ser ud til at have mindre længder langs kørselsretningen.

Længdekontraktion

for at udvikle en ligning, der vedrører afstande målt af forskellige observatører, bemærker vi, at hastigheden i forhold til den jordbundne observatør i vores muon-eksempel er givet af

V=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.

tiden i forhold til den jordbundne observatør er krudt, da objektet, der er tidsbestemt, bevæger sig i forhold til denne observatør. Hastigheden i forhold til den bevægende observatør er givet af

v=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.

den bevægende observatør rejser med muon og observerer derfor den rette tid, som Kurlt0. De to hastigheder er identiske; således

\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.

Vi ved, at Lrt = lrt0. Ved at erstatte denne ligning i forholdet ovenfor giver

L=\frac{L_0}{\gamma}\\

Ved at erstatte LR giver en ligning, der vedrører afstandene målt af forskellige observatører.

Længdekontraktion

Længdekontraktion L er forkortelsen af den målte længde af et objekt, der bevæger sig i forhold til observatørens ramme.

\displaystyle{L}=L_0\kvm{1-\frac{v^2}{c^2}}\\

Hvis vi måler længden af noget, der bevæger sig i forhold til vores ramme, finder vi dens længde L at være mindre end den korrekte længde L0, der ville blive målt, hvis objektet var stationært. For eksempel i muons referenceramme er afstanden mellem de punkter, hvor den blev produceret, og hvor den henfaldt, kortere. Disse punkter er faste i forhold til Jorden, men bevæger sig i forhold til muon. Skyer og andre genstande er også kontraheret langs bevægelsesretningen i muons referenceramme.

eksempel 1. Beregning af Længdekontraktion: afstanden mellem stjerner trækker sig sammen, når du rejser med høj hastighed

Antag, at en astronaut, såsom Tvillingen, der diskuteres i samtidighed og tidsudvidelse, rejser så hurtigt, at prisT = 30,00.

  1. hun rejser fra jorden til det nærmeste stjernesystem, Alpha Centauri, 4.300 lysår (ly) væk målt af en jordbundet observatør. Hvor langt fra hinanden er jorden og Alpha Centauri målt af astronauten?
  2. med hensyn til c, Hvad er hendes hastighed i forhold til jorden? Du kan forsømme Jordens bevægelse i forhold til Solen. (Se Figur 3.)
i del A måles afstanden mellem jorden og Alfa centauri som L-nul. Et ur givet i denne figur viser en tid delta-t. et rumskib, der flyver med hastighed på v, er lig med L-nul over delta-t fra jorden til stjernen, vises. Del b viser rumskibets referenceramme, hvorfra afstanden L mellem jorden og stjernen er kontraheret, da de ser ud til at bevæge sig med samme hastighed i modsat retning. I del b viser uret mindre tid, der er gået end uret i del A.

figur 3. A) den jordbundne observatør måler den rette afstand mellem Jorden og Alpha Centauri. (B) astronauten observerer en længdekontraktion, da jorden og Alpha Centauri bevæger sig i forhold til hendes skib. Hun kan rejse denne kortere afstand på en mindre tid (hendes rette tid) uden at overskride lysets hastighed.

strategi

først bemærk, at et lysår (ly) er en bekvem afstandsenhed i astronomisk skala—det er afstandslyset, der bevæger sig om et år. For Del 1, Bemærk at 4.300 ly afstanden mellem Alpha Centauri og Jorden er den rette afstand L0, fordi den måles af en jordbundet observatør, som begge stjerner er (ca.) stationære. Til astronauten bevæger Jorden og Alpha Centauri sig med samme hastighed, og så er afstanden mellem dem den kontraherede længde L. I Del 2 får vi Kurt, og så kan vi finde v ved at omarrangere definitionen af Kurt til at udtrykke v i form af c.

løsning til Del 1

Identificer de kendte:

L0 − 4.300 ly; LR = 30.00

Identificer det ukendte: L

Vælg den relevante ligning:

L=\frac{L_0}{\gamma}\\.

Omarranger ligningen for at løse for det ukendte.

\begin{array}{lll}l&&\frac{L_0}{\gamma}\\\tekst{ }&&\frac{4.300\tekst{ ly}}{30.00}\\\tekst{ }&&0.1433\tekst{ ly}\end{array}\\

løsning til del 2

Identificer det kendte: prit = 30.00

Identificer det ukendte: v in terms of c

Choose the appropriate equation.

\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\

Rearrange the equation to solve for the unknown.

\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\

Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives

\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ således at 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ og \frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{900,0}=0,99888\dots\\

Ved at tage kvadratroden finder vi \frac{v}{c}=0.99944\\, som omarrangeres for at producere en værdi for hastigheden v = 0.9994 c.

diskussion

husk først, at du ikke skal afrunde beregningerne, før det endelige resultat er opnået, eller du kan få fejlagtige resultater. Dette gælder især for specielle relativitetsberegninger, hvor forskellene måske først afsløres efter flere decimaler. Den relativistiske effekt er stor her (venstre = 30.00), og vi ser, at v nærmer sig (ikke svarer til) lysets hastighed. Da afstanden målt af astronauten er så meget mindre, kan astronauten rejse den på meget kortere tid i sin ramme.

folk kunne sendes meget store afstande (tusinder eller endda millioner af lysår) og alder kun et par år på vej, hvis de rejste med ekstremt høje hastigheder. Men ligesom emigranter fra århundreder tidligere ville de forlade Jorden, de kender for evigt. Selv hvis de vendte tilbage, ville tusinder til millioner af år være gået på jorden og udslette det meste af det, der nu findes. Der er også en mere alvorlig praktisk hindring for at rejse med sådanne hastigheder; uhyre større energier, end klassisk fysik forudsiger, ville være nødvendige for at opnå så høje hastigheder. Dette vil blive diskuteret i Relatavistisk energi.

en elektron, der rejser med hastighed v til højre gennem et vandret rør. De elektriske feltlinjer indtaster det radialt.

figur 4. De elektriske feltlinjer af en højhastigheds ladet partikel komprimeres langs bevægelsesretningen ved længdekontraktion. Dette frembringer et andet signal, når partiklen går gennem en spole, en eksperimentelt verificeret effekt af længdekontraktion.

hvorfor bemærker vi ikke længdekontraktion i hverdagen? Afstanden til købmanden ser ikke ud til at afhænge af, om vi bevæger os eller ej. Når vi undersøger ligningen L=L_0 \ kvm{1- \ frac{v^2}{c^2}}\\, ser vi, at længderne ved lave hastigheder (v<<c) er næsten ens, den klassiske forventning. Men længdekontraktion er reel, hvis ikke almindeligt oplevet. For eksempel har en ladet partikel, som en elektron, der bevæger sig med relativistisk hastighed, elektriske feltlinjer, der komprimeres langs bevægelsesretningen set af en stationær observatør. (Se Figur 4.) Når elektronen passerer en detektor, såsom en trådspole, interagerer dens felt meget mere kort, en effekt observeret ved partikelacceleratorer såsom den 3 km lange Stanford Linear Accelerator (SLAC). Faktisk, til en elektron, der bevæger sig ned ad strålerøret ved SLAC, acceleratoren og Jorden bevæger sig alle forbi og er Længde kontraheret. Den relativistiske effekt er så stor, end acceleratoren kun er 0,5 m lang til elektronen. Det er faktisk lettere at få elektronstrålen ned ad røret, da strålen ikke behøver at være så præcist rettet mod at komme ned ad et kort rør, som det ville ned ad en 3 km lang. Dette er igen en eksperimentel verifikation af den specielle relativitetsteori.

kontroller din forståelse

en partikel bevæger sig gennem Jordens atmosfære med en hastighed på 0,750 c. til en jordbundet observatør er afstanden Den kører 2,50 km. Hvor langt bevæger partiklen sig i partiklens referenceramme?

opløsning

\displaystyle{L}=L_0\KVRT{1-\frac{v^2}{c^2}}=\venstre(2,50\tekst{ km}\højre)\KVRT{1-\frac{\venstre(0,750 c\højre)^2}{c^2}}=1,65\tekst{ km}\\

sektionsoversigt

  • alle observatører er enige om relativ hastighed.
  • afstand afhænger af en observatørs bevægelse. Korrekt længde L0 er afstanden mellem to punkter målt af en observatør, der er i ro i forhold til begge punkter. Jordbundne observatører måler korrekt længde ved måling af afstanden mellem to punkter, der er stationære i forhold til jorden.
  • Længdekontraktion L er forkortelsen af den målte længde af et objekt, der bevæger sig i forhold til observatørens ramme:
    L=l_{0}\kvm{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\.

konceptuelle spørgsmål

  1. til hvem virker et objekt større i længden, en observatør bevæger sig med objektet eller en observatør bevæger sig i forhold til objektet? Hvilken observatør måler objektets korrekte længde?
  2. relativistiske effekter som tidsudvidelse og længdekontraktion er til stede for biler og fly. Hvorfor virker disse virkninger underlige for os?
  3. Antag, at en astronaut bevæger sig i forhold til jorden med en betydelig brøkdel af lysets hastighed. (a) lægger han mærke til at hans ure er blevet langsommere? (b) hvilken ændring i antallet af ur på jorden ser han? (c) synes hans skib at forkorte? (d) hvad med afstanden mellem stjerner der ligger på linjer parallelt med hans bevægelse? (e) er han og en jordbaseret iagttager enige om hans hastighed i forhold til jorden?

problemer& øvelser

  1. et rumskib, 200 m langt set om bord, bevæger sig af jorden ved 0.970 c. Hvad er dens længde målt af en jordbundet observatør?
  2. hvor hurtigt skal en 6,0 m lang sportsvogn gå forbi dig for at den kun skal vises 5,5 m lang?
  3. (a) Hvor langt rejser muonen i Eksempel 1 i samtidighed og tidsudvidelse ifølge den jordbundne observatør? (b) hvor langt bevæger den sig, set af en observatør, der bevæger sig med den? Basere din beregning på dens hastighed i forhold til Jorden og den tid, den lever (korrekt tid). (c) Kontroller, at disse to afstande er relateret gennem længdekontraktion Kurt = 3,20.
  4. (a) Hvor længe ville muonen I eksempel 1 i samtidighed og tidsudvidelse have levet som observeret på jorden, hvis dens hastighed var 0,0500 c? (b) hvor langt ville det have rejst som observeret på jorden? (c) hvilken afstand er dette i muons ramme?
  5. (a) Hvor lang tid tager det astronauten I eksempel 1 at rejse 4.30 ly ved 0.99944 c (målt af den jordbundne observatør)? (b) hvor lang tid tager det ifølge astronauten? (c) Kontroller, at disse to gange er relateret gennem tidsudvidelse med Kurt = 30,00 som givet.
  6. (a) Hvor hurtigt skal en atlet køre for et 100 m løb for at se 100 yd lang? (B) er svaret i overensstemmelse med det faktum, at relativistiske virkninger er vanskelige at observere under almindelige omstændigheder? Forklare.
  7. urimelige resultater. (- en) Find værdien af chrus for følgende situation. En astronaut måler længden af sit rumskib til at være 25,0 m, mens en jordbundet observatør måler det til at være 100 m. (b) Hvad er urimeligt ved dette resultat? (C) hvilke antagelser er urimelige eller inkonsekvente?
  8. urimelige resultater. Et rumskib er på vej direkte mod jorden med en hastighed på 0,800 c. astronauten om bord hævder, at han kan sende en beholder mod Jorden ved 1,20 c i forhold til jorden. (A) Beregn hastigheden beholderen skal have i forhold til rumskibet. (b) Hvad er urimeligt ved dette resultat? (C) hvilke antagelser er urimelige eller inkonsekvente?

ordliste

korrekt længde: L0; afstanden mellem to punkter målt af en observatør, der er i ro i forhold til begge punkter; jordbundne observatører måler korrekt længde ved måling af afstanden mellem to punkter, der er stationære i forhold til jorden

længdekontraktion: L, forkortelsen af den målte længde af et objekt, der bevæger sig i forhold til observatørens ramme:

L=l_0\kvm{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{l}_{0}}{\gamma}\\

udvalgte løsninger på problemer & øvelser

1. 48, 6 m

3. (a) 1.387 km = 1.39 km; (b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\

Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.

5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c) \Delta{t}=\gamma\Delta{T}_{0}\højre pil\gamma=\frac{\Delta{t}}{\Delta{t}_{0}}=\frac{4.303\tekst{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\\

således er de to gange relateret, når kur = 30.00.

7. (a) 0,250; (B) kr.skal være kr. 1; (c) den jordbundne observatør skal måle en kortere længde, så det er urimeligt at antage en længere længde.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *