der er en særlig type system, der kræver yderligere undersøgelse. Denne type system kaldes et homogent system af ligninger, som vi definerede ovenfor i Definition . Vores fokus i dette afsnit er at overveje, hvilke typer løsninger der er mulige for et homogent ligningssystem.
overvej følgende definition.
Definition \(\Sideindeks{1}\): Trivial løsning
overvej det homogene system af ligninger givet af \ Derefter er \({1} = 0, {2} = 0, \cdots, {n} =0\) altid en løsning på dette system. Vi kalder dette den trivielle løsning .
Hvis systemet har en løsning, hvor ikke alle \(H_1, \cdots, h_n\) er lig med nul, så kalder vi denne løsning nontrivial . Den trivielle løsning fortæller os ikke meget om systemet, da det siger, at \(0=0\)! Derfor, når vi arbejder med homogene ligningssystemer, ønsker vi at vide, hvornår systemet har en nontrivial løsning.
Antag, at vi har et homogent system af \(m\) ligninger ved hjælp af \(n\) variabler, og antag at \(n> m\). Med andre ord er der flere variabler end ligninger. Derefter viser det sig, at dette system altid har en nontrivial løsning. Ikke alene vil systemet have en nontrivial løsning, men det vil også have uendeligt mange løsninger. Det er også muligt, men ikke påkrævet, at have en nontrivial løsning, hvis \(n=m\) og \(n<m\).
overvej følgende eksempel.
eksempel \(\Sideindeks{1}\): Løsninger til et homogent ligningssystem
Find de ikke-trivielle løsninger til følgende homogene ligningssystem \
løsning
Bemærk, at dette system har \(m = 2\) ligninger og \(n = 3\) variabler, så \(n>m\). Derfor forventer vi ved vores tidligere diskussion, at dette system har uendeligt mange løsninger.
den proces, vi bruger til at finde løsningerne til et homogent ligningssystem, er den samme proces, som vi brugte i det foregående afsnit. Først konstruerer vi den forstørrede matrice, givet af \\] derefter bærer vi denne matrice til dens, angivet nedenfor. \\ ] Det tilsvarende system af ligninger er \ da \(å\) ikke er begrænset af nogen ligning, ved vi, at denne variabel bliver vores parameter. Lad \(å=t\) hvor \(t\) er et hvilket som helst tal. Derfor har vores løsning formen \ derfor har dette system uendeligt mange løsninger med en parameter \(t\).
Antag, at vi skulle skrive løsningen til det foregående eksempel i en anden form. Specifikt kan \ skrives som \ = \ left + t \ left\] Bemærk, at vi har konstrueret en kolonne fra konstanterne i løsningen (alle lig med \(0\)) samt en kolonne svarende til koefficienterne på \(t\) i hver ligning. Mens vi vil diskutere denne form for løsning mere i yderligere kapitler, skal vi nu overveje kolonnen med koefficienter for parameteren \(t\). I dette tilfælde er dette kolonnen \(\left\).
der er et særligt navn til denne kolonne, som er grundlæggende løsning. De grundlæggende løsninger i et system er kolonner konstrueret ud fra koefficienterne på parametre i løsningen. Vi betegner ofte grundlæggende løsninger med \(H_1, H_2\) osv., afhængigt af hvor mange løsninger der opstår. Derfor har eksemplet den grundlæggende løsning \(H_1 = \ left\).
Vi undersøger dette yderligere i det følgende eksempel.
eksempel \(\Sideindeks{1}\): Grundlæggende løsninger af et homogent System
overvej følgende homogene system af ligninger. \ Find de grundlæggende løsninger på dette system.
løsning
den udvidede matrice i dette system og den resulterende er \ \højre pil \cdots \højre pil \venstre\] når det er skrevet i ligninger, er dette system givet ved \ Bemærk, at kun \(h\) svarer til en pivotkolonne. I dette tilfælde vil vi have to parametre, en for \(y\) og en for \(å\). Lad \(y = s\) og \(å=t\) for alle Tal \(s\) og \(t\). Derefter bliver vores løsning \ som kan skrives som \ = \left + s \left + t \left\] du kan se her, at vi har to kolonner af koefficienter svarende til parametre, specifikt en for \(s\) og en for \(t\). Derfor har dette system to grundlæggende løsninger! Disse er\, H_2 = \ left\]
Vi præsenterer nu en ny definition.
Definition \(\Sideindeks{1}\): lineær kombination
lad \(H_1,\cdots ,H_n,V\) være kolonnematricer. Derefter siges \(V\) at være en lineær kombination af kolonnerne \(H_1,\cdots , H_n\) hvis der findes skalarer, \(a_{1},\cdots ,a_{n}\) således at \
et bemærkelsesværdigt resultat af dette afsnit er, at en lineær kombination af de grundlæggende løsninger igen er en løsning på systemet. Endnu mere bemærkelsesværdigt er, at enhver løsning kan skrives som en lineær kombination af disse løsninger. Derfor , hvis vi tager en lineær kombination af de to løsninger til eksempel, ville dette også være en løsning. For eksempel kunne vi tage følgende lineære kombination
\ + 2 \left = \left\] du skal tage et øjeblik for at kontrollere, at \ = \left\]
faktisk er en løsning på systemet i eksempel .
en anden måde, hvorpå vi kan finde ud af mere information om løsningerne i et homogent system, er at overveje rangen af den tilknyttede koefficientmatrice. Vi definerer nu, hvad der menes med rangen af en matrice.
Definition \(\Sideindeks{1}\): rang af en matrice
lad \(a\) være en matrice og overvej nogen af \(a\). Derefter afhænger tallet \(r\) af de førende poster i \(A\) ikke af det, du vælger, og kaldes rangen af \(a\). Vi betegner det efter rang (\(A\)).
På samme måde kunne vi tælle antallet af pivotpositioner (eller pivot kolonner) for at bestemme rangen af \(a\).
eksempel \(\Sideindeks{1}\): Find rangen af en matrice
overvej matricen \\] Hvad er dens rang?
løsning
først skal vi finde Af \(a\). Gennem den sædvanlige algoritme finder vi, at dette er \\] her har vi to førende poster eller to drejepositioner vist ovenfor i kasser.Rangen af \(A\) er \(r = 2.\)
Bemærk, at vi ville have opnået det samme svar, hvis vi havde fundet af \(A\) i stedet for .
Antag, at vi har et homogent system af \(m\) ligninger i \(n\) variabler, og antag at \(n> m\). Fra vores ovenstående diskussion ved vi, at dette system vil have uendeligt mange løsninger. Hvis vi overvejer rangen af koefficientmatricen i dette system, kan vi finde ud af endnu mere om løsningen. Bemærk, at vi kun ser på koefficientmatricen, ikke hele den forstørrede matrice.
sætning \(\Sideindeks{1}\): rang og løsninger til et homogent System
lad \(A\) være \(M \gange n\) koefficientmatricen svarende til et homogent ligningssystem, og antag \(A\) har rang \(r\). Derefter har løsningen på det tilsvarende system \(n-r\) parametre.
overvej vores ovenstående eksempel i sammenhæng med denne sætning. Systemet i dette eksempel har \(m = 2\) ligninger i\ (n = 3\) variabler. For det første fordi \(n>m\), ved vi, at systemet har en nontrivial løsning og derfor uendeligt mange løsninger. Dette fortæller os, at løsningen vil indeholde mindst en parameter. Rangen af koefficientmatricen kan fortælle os endnu mere om løsningen! Rangen af koefficientmatricen i systemet er \(1\), da den har en førende post i . Sætning fortæller os, at løsningen vil have \(n-r = 3-1 = 2\) parametre. Du kan kontrollere, at dette er sandt i løsningen på Eksempel .
Bemærk, at hvis \(n=m\) eller \(n<m\), er det muligt at have enten en unik løsning (som vil være den trivielle løsning) eller uendeligt mange løsninger.
Vi er ikke begrænset til homogene ligningssystemer her. Rangen af en matrice kan bruges til at lære om løsningerne af ethvert system af lineære ligninger. I det foregående afsnit diskuterede vi, at et ligningssystem ikke kan have nogen løsning, en unik løsning eller uendeligt mange løsninger. Antag, at systemet er konsistent, uanset om det er homogent eller ej. Følgende sætning fortæller os, hvordan vi kan bruge rang til at lære om den type løsning, vi har.
sætning \(\Sideindeks{1}\): rang og løsninger til et konsistent system af ligninger
lad \(A\) være \(m \gange \venstre( n+1 \højre)\) augmented matrice svarende til et konsistent system af ligninger i \(n\) variabler, og antag \(A\) har rang \(r\). Så
-
systemet har en unik løsning, hvis \(r = n\)
-
systemet har uendeligt mange løsninger, hvis \(r< n\)
vi vil ikke fremlægge et formelt bevis på dette, men overvej følgende diskussioner.
-
ingen løsning ovenstående sætning antager, at systemet er konsistent, det vil sige, at det har en løsning. Det viser sig, at det er muligt for den forstørrede matrice i et system uden løsning at have nogen rang \(r\) så længe \(r>1\). Derfor må vi vide, at systemet er konsistent for at kunne bruge denne sætning!
-
unik løsning Antag \(r=n\). Derefter er der en drejeposition i hver kolonne i koefficientmatricen på \(a\). Derfor er der en unik løsning.
-
uendeligt mange løsninger antager \(r<n\). Så er der uendeligt mange løsninger. Der er mindre pivotpositioner (og dermed mindre ledende poster) end kolonner, hvilket betyder, at ikke hver kolonne er en pivotkolonne. De kolonner, der er \(ikke\) pivot kolonner svarer til parametre. Faktisk har vi i dette tilfælde\ (n-r\) parametre.