Nedávno jsem přemýšlel o různých ospravedlněních pro definici 0! (faktoriál nuly) což je
$$0!=1$$
předpokládaná hodnota 1 se může zdát zcela zřejmá, pokud vezmeme v úvahu rekurzivní vzorec. Neuspokojilo mě to však „matematicky“. Proto jsem se rozhodl napsat těchto pár vět. Budu dávat motivace pro ty méně pokročilé,ale budou také motivace pro mírně více zasvěcených.
⭐️Faktoriál v Skalární Kalkulačka
⭐️ Faktoriál a opakování
Pro číslo n > 0 faktoriál je definován takto
$$n!=n \ times (n-1) \ times (n-2) \times \ldots\times 2 \ times 1$$
s lehkostí můžete vidět, že níže rekurzivní vzorec následuje
$$n!=n \ krát (n-1)!$ $
$ $ 1!=1$$
0 0 0! = 1-motivace založená na opakování
malá transformace
$$n!=n \ krát (n-1)!$$
dává
$$(n-1)!= \ frac{n!}{n}$$
nahrazením n = 1
$$(1-1)!= \ frac{1!{1}$ $
$ $ 0!=1!=1$$
toto vysvětlení, i když snadné, neposkytuje (podle mého názoru) dostatečně hluboké pochopení „proč by to měla být nejlepší volba“.
Factor Factor Factorial n! počítá možné odlišné sekvence z n různých objektů (permutace)
předpokládejme, že máme množinu a obsahující n prvků
$$\{1,2,\ldots,n\}$$
„s počet možných uspořádání prvků je tato sada
- n způsoby výběru prvního prvku (protože máme celý set je k dispozici)
- n-1 způsoby výběru druhého prvku (protože první byl již vybrán, je n-1 vlevo)
- n-2 způsoby výběru třetí prvek (protože oba již byli vybráni, tam jsou n-2)
- …
- n- (k-1) způsoby výběru prvku číslo k (protože k-1 již byly vybrány, n- (k-1) zůstávají)
- 2 způsoby výběru prvek číslo n-1 (, protože n-2 byly vybrány, ještě 2 zůstávají)
- 1 způsob výběru prvek číslo n (protože n-1 byly byly vybrány, zůstala jen jedna)
Konečně, počítání všechny možné způsoby, dostaneme
$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1=n!$$
závěr: faktoriál n počítá počet permutace sady obsahující n prvky.
⭐️ k-permutace z n někdy nazývá částečné obměny a varianty
k-permutace z n jsou různé nařídil ujednání k-prvkové podmnožiny n-set. Počet takových k-permutace z n je
$$P_k^n = n\times (n-1)\times (n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!}{(n-k)!} $$
je snadné vidět, že n-permutace n je permutace, takže
$$P_n^n=n!$ $
$$n! = \ frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} $$
Další informace proč 0!=1 je správná definice pochází z toho pro jakýkoli n > 0 měli bychom mít
$$0! \krát n! = n!$$
⭐️ Funkce nastaví mapování
Funkce
$$f:A\to B$$
Funkce f : A → B, kde pro každé a ∈ A je f(a) = b ∈ B, definuje vztah mezi prvky a a b. Můžeme říci, že prvky a ∈ a a b ∈ B je ve vztahu „f“ tehdy a jen tehdy pokud f(a) = b.
Function Function Funkce jako podmnožina kartézského součinu
funkce je binární vztah, což znamená, že funkci lze vyjádřit podmnožinou kartézského součinu.
$$(a,b)\in f \subseteq A\times B \iff f(a)=b$$
⭐️ Injektivní funkce
Injektivní funkce je funkce, která zachovává odlišnosti: to nikdy map odlišné prvky domény na stejný prvek její obor hodnot. Krátce
$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$
⭐️ Surjektivní funkce
funkce f je surjektivní (nebo na) pokud pro každý prvek b v doméně, tam je alespoň jeden prvek v doméně jako takové, že f(a)=b . Není nutné, aby x byl jedinečný.
$ $ f:A\to B$$
$${\large \displaystyle\forall_{b \in B} \quad\displaystyle\exists_{a\in A}\quad}f(a)=b$$
⭐️ Bijektivní funkce
Bijektivní funkce, nebo one-to-one korespondence, je funkce, kde každý prvek jedné množiny je spárováno s přesně jeden prvek druhé sady, a každý prvek z jiné sady je spárován s přesně jeden prvek z první sady. Neexistují žádné nepárové prvky.
V matematických termínech, bijektivní funkce je injektivní a surjektivní mapování nastavit na množině B.
⭐️ Bijektivní funkce vs Permutace
Permutace je funkce, která vrací pořadí souboru, tj. pokud budeme uvažovat n-prvkové množiny {1, 2, …, n}, pak permutace bude funkce
$$p:\{1, 2, …, n\}\\{1, 2, …, n\}$$
splňující bijektivní funkce stavu.
tím, že se ptáme na počet permutací, můžeme se stejně ptát na počet různých bijekcí z dané množiny do sebe.
Empty Empty prázdná funkce
prázdná funkce je každá funkce, jejíž doména je prázdná sada.
$$f:\emptyset\to B$$
prázdná funkce „graf“ je prázdná množina, protože kartézský součin domény a codomain je prázdný.
$$\emptyset\times B = \emptyset$$
prázdné funkce zachovává odlišnosti (je injektivní), protože v doméně (prázdná množina) neexistují žádné dva různé prvky, pro které je hodnota funkce je stejná.
special special zvláštní případ prázdné funkce
pojďme analyzovat funkci, která mapuje prázdnou sadu
$$f:\emptyset\\emptyset$$
tato funkce je bijekce, protože to je injektivní funkce (jak je uvedeno výše), a neexistuje žádný prvek v obor hodnot (obor hodnot je prázdná množina), která není ve vztahu k prvky v doméně.
vezměte Prosím na vědomí, že tam je přesně jedna taková bijekce, což je výsledky, že funkce je podmnožinou Kartézského součinu doménových a obor hodnot. V tomto případě je to pouze jedna možná sada.
$ $ f:\emptyset\\emptyset$$
$$\emptyset\times\emptyset = \emptyset$$
prázdná množina má přesně jednu podmnožinu, která je prázdná množina – tedy taková bijekce je jednoznačně definována.
0 0 0! = 1 vs Prázdná funkce
napsal jsem výše, že počet permutací z n-prvkové množiny rovná počtu odlišných bijektivní funkce z této sady do sebe.
Následující – permutace 0-element set odpovídá bijekce z prázdné do prázdné set/
zvláštní případ prázdné, funkce je jen 1 – a předložil jsem doklad, že existuje pouze jedna taková funkce 🙂
Docela hluboký vhled, proč 0! měl by do 1.
⭐ function funkce gama
v matematice je funkce gama jedním z rozšíření faktoriální funkce s jejím argumentem posunutým dolů o 1, na reálná a komplexní čísla.
$$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$
Po integraci částí dostaneme rekurzivní vzorec,
$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$
podívejme se na hodnoty
$$\Gamma(1)=?$$
$$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt$$
Následující
$$\Gamma(n+1)=n!$ $
$ $ 0! = \Gamma(1) = 1$$
⭐️ Scalar support for the Gamma function
Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function
- Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
- sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
- logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
- diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
- GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
- GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
- GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
- GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)
Gamma function chart
Gamma function vs Factorial chart
⭐️ Číslo e a faktoriál vztahu
na Základě Taylorovy řady rozšíření e^x je snadné ukázat, že
$$e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots$$
Sequence convergence
This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e
Thanks for reading! All the best 🙂