Why proč 0! = 1 (nulový faktoriál je jeden)?

Nedávno jsem přemýšlel o různých ospravedlněních pro definici 0! (faktoriál nuly) což je

$$0!=1$$

předpokládaná hodnota 1 se může zdát zcela zřejmá, pokud vezmeme v úvahu rekurzivní vzorec. Neuspokojilo mě to však „matematicky“. Proto jsem se rozhodl napsat těchto pár vět. Budu dávat motivace pro ty méně pokročilé,ale budou také motivace pro mírně více zasvěcených.

⭐️Faktoriál v Skalární Kalkulačka

Skalární Kalkulačka - Faktoriál

⭐️ Faktoriál a opakování

Pro číslo n > 0 faktoriál je definován takto

$$n!=n \ times (n-1) \ times (n-2) \times \ldots\times 2 \ times 1$$

s lehkostí můžete vidět, že níže rekurzivní vzorec následuje

$$n!=n \ krát (n-1)!$ $

$ $ 1!=1$$

0 0 0! = 1-motivace založená na opakování

malá transformace

$$n!=n \ krát (n-1)!$$

dává

$$(n-1)!= \ frac{n!}{n}$$

nahrazením n = 1

$$(1-1)!= \ frac{1!{1}$ $

$ $ 0!=1!=1$$

toto vysvětlení, i když snadné, neposkytuje (podle mého názoru) dostatečně hluboké pochopení „proč by to měla být nejlepší volba“.

Factor Factor Factorial n! počítá možné odlišné sekvence z n různých objektů (permutace)

předpokládejme, že máme množinu a obsahující n prvků

$$\{1,2,\ldots,n\}$$

„s počet možných uspořádání prvků je tato sada

  • n způsoby výběru prvního prvku (protože máme celý set je k dispozici)
  • n-1 způsoby výběru druhého prvku (protože první byl již vybrán, je n-1 vlevo)
  • n-2 způsoby výběru třetí prvek (protože oba již byli vybráni, tam jsou n-2)
  • n- (k-1) způsoby výběru prvku číslo k (protože k-1 již byly vybrány, n- (k-1) zůstávají)
  • 2 způsoby výběru prvek číslo n-1 (, protože n-2 byly vybrány, ještě 2 zůstávají)
  • 1 způsob výběru prvek číslo n (protože n-1 byly byly vybrány, zůstala jen jedna)

Konečně, počítání všechny možné způsoby, dostaneme

$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1=n!$$

závěr: faktoriál n počítá počet permutace sady obsahující n prvky.

⭐️ k-permutace z n někdy nazývá částečné obměny a varianty

k-permutace z n jsou různé nařídil ujednání k-prvkové podmnožiny n-set. Počet takových k-permutace z n je

$$P_k^n = n\times (n-1)\times (n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!}{(n-k)!} $$

je snadné vidět, že n-permutace n je permutace, takže

$$P_n^n=n!$ $

$$n! = \ frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} $$

Další informace proč 0!=1 je správná definice pochází z toho pro jakýkoli n > 0 měli bychom mít

$$0! \krát n! = n!$$

⭐️ Funkce nastaví mapování

Skalární Kalkulačka - Matematické Funkce

Funkce

$$f:A\to B$$

Funkce f : A → B, kde pro každé a ∈ A je f(a) = b ∈ B, definuje vztah mezi prvky a a b. Můžeme říci, že prvky a ∈ a a b ∈ B je ve vztahu „f“ tehdy a jen tehdy pokud f(a) = b.

Function Function Funkce jako podmnožina kartézského součinu

funkce je binární vztah, což znamená, že funkci lze vyjádřit podmnožinou kartézského součinu.

$$(a,b)\in f \subseteq A\times B \iff f(a)=b$$

⭐️ Injektivní funkce

Skalární Kalkulačka - Injektivní Funkce

Injektivní funkce je funkce, která zachovává odlišnosti: to nikdy map odlišné prvky domény na stejný prvek její obor hodnot. Krátce

$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$

⭐️ Surjektivní funkce

Skalární Kalkulačka - Surjektivní Funkce

funkce f je surjektivní (nebo na) pokud pro každý prvek b v doméně, tam je alespoň jeden prvek v doméně jako takové, že f(a)=b . Není nutné, aby x byl jedinečný.

$ $ f:A\to B$$

$${\large \displaystyle\forall_{b \in B} \quad\displaystyle\exists_{a\in A}\quad}f(a)=b$$

⭐️ Bijektivní funkce

Skalární Kalkulačka - Bijektivní Funkce

Bijektivní funkce, nebo one-to-one korespondence, je funkce, kde každý prvek jedné množiny je spárováno s přesně jeden prvek druhé sady, a každý prvek z jiné sady je spárován s přesně jeden prvek z první sady. Neexistují žádné nepárové prvky.

V matematických termínech, bijektivní funkce je injektivní a surjektivní mapování nastavit na množině B.

⭐️ Bijektivní funkce vs Permutace

Permutace je funkce, která vrací pořadí souboru, tj. pokud budeme uvažovat n-prvkové množiny {1, 2, …, n}, pak permutace bude funkce

$$p:\{1, 2, …, n\}\\{1, 2, …, n\}$$

splňující bijektivní funkce stavu.

tím, že se ptáme na počet permutací, můžeme se stejně ptát na počet různých bijekcí z dané množiny do sebe.

Empty Empty prázdná funkce

prázdná funkce je každá funkce, jejíž doména je prázdná sada.

$$f:\emptyset\to B$$

prázdná funkce „graf“ je prázdná množina, protože kartézský součin domény a codomain je prázdný.

$$\emptyset\times B = \emptyset$$

prázdné funkce zachovává odlišnosti (je injektivní), protože v doméně (prázdná množina) neexistují žádné dva různé prvky, pro které je hodnota funkce je stejná.

special special zvláštní případ prázdné funkce

pojďme analyzovat funkci, která mapuje prázdnou sadu

$$f:\emptyset\\emptyset$$

tato funkce je bijekce, protože to je injektivní funkce (jak je uvedeno výše), a neexistuje žádný prvek v obor hodnot (obor hodnot je prázdná množina), která není ve vztahu k prvky v doméně.

vezměte Prosím na vědomí, že tam je přesně jedna taková bijekce, což je výsledky, že funkce je podmnožinou Kartézského součinu doménových a obor hodnot. V tomto případě je to pouze jedna možná sada.

$ $ f:\emptyset\\emptyset$$

$$\emptyset\times\emptyset = \emptyset$$

prázdná množina má přesně jednu podmnožinu, která je prázdná množina – tedy taková bijekce je jednoznačně definována.

0 0 0! = 1 vs Prázdná funkce

napsal jsem výše, že počet permutací z n-prvkové množiny rovná počtu odlišných bijektivní funkce z této sady do sebe.

Následující – permutace 0-element set odpovídá bijekce z prázdné do prázdné set/

zvláštní případ prázdné, funkce je jen 1 – a předložil jsem doklad, že existuje pouze jedna taková funkce 🙂

Docela hluboký vhled, proč 0! měl by do 1.

⭐ function funkce gama

v matematice je funkce gama jedním z rozšíření faktoriální funkce s jejím argumentem posunutým dolů o 1, na reálná a komplexní čísla.

$$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$

Po integraci částí dostaneme rekurzivní vzorec,

$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$

podívejme se na hodnoty

$$\Gamma(1)=?$$

$$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt$$

Následující

$$\Gamma(n+1)=n!$ $

$ $ 0! = \Gamma(1) = 1$$

⭐️ Scalar support for the Gamma function

Scalar Calculator - Gamma Special Function

Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function

  • Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
  • sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
  • logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
  • diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
  • GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
  • GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
  • GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
  • GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)

Gamma function chart

Scalar Calculator - Gamma Special Function Chart

Gamma function vs Factorial chart

Scalar Kalkulačka - Gama Speciální Funkce vs Faktoriál

⭐️ Číslo e a faktoriál vztahu

na Základě Taylorovy řady rozšíření e^x je snadné ukázat, že

$$e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots$$

Sequence convergence

Scalar Calculator - Number e - Factorial Sequence Limit

This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e

Scalar Calculator - e^x function and 0!

Thanks for reading! All the best 🙂

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *