Úvod
- Pokud je to fyzikální veličina, jako je stres, pak je to obvykle nazývá tenzor.Pokud to není fyzikální veličina, pak se obvykle nazývá matice.
- drtivá většina technických tenzorů je symetrická. Jedno společné množstvíkterý není symetrický a není označován jako tenzor, je rotační matice.
- tenzory jsou ve skutečnosti jakákoli fyzická veličina, která může být reprezentována skalárem, vektorem nebo maticí.Tenzory nulového řádu, jako hmotnost, se nazývají skaláry, zatímco tenzory 1. řádu se nazývají vektory.Příklady tenzorů vyššího řádu zahrnují tenzory napětí, napětí a tuhosti.
- pořadí nebo pořadí matice nebo tenzoru je počet odběrů, které obsahuje. Vektor je tenzor 1. pozice. Tenzor napětí 3×3 je 2.místo.
- souřadnicové transformace tenzorů jsou podrobně popsány zde.
matice Identity
matice identity je
\\]
násobení čehokoli maticí identity je jako násobení jednou.
tenzorová notace
matice identity v tenzorové notaci je jednoduše \ (\delta_{ij} \).Je to Delta Kronecker, která se rovná 1, Když \ (i = j \) A 0 jinak.
![](https://www.continuummechanics.org/images/main/note.png)
je to matice nebo ne?poznámka puristů… Matice identity je matice, ale Kronecker deltatechnically není. \ (\delta_{ij} \) je jediná skalární hodnota, která je buď 1 nebo 0 v závislosti na hodnotách \(i\) a \(j\). To je také důvod, proč tenzorová notace není tučně, protože vždy odkazuje na jednotlivé složky tenzorů, ale nikdy na tenzor jako celek.
Následujte tento odkaz pro zábavnou diskusi mezi někým, whogets to, a někdo jiný, kdo to neví.
Provedení
transponovaná matice zrcadel jeho složky na hlavní diagonále. Matrice transposeof \({\bf a}\) je zapsána \({\bf a}^{\!T}\).
![](https://www.continuummechanics.org/images/main/note.png)
Provedení Příklad
\,\qquad\text {}\qquad{\bf A}^{\!T} = \left\]
tenzorová notace
transpozice \(a_{ij}\) je \(A_{j\, i}\).
Determinanty
determinant matice je zapsána jako det(\({\bf A}\)), nebo \(|{\bf A}|\), a je počítán jako
\
Pokud determinant tenzor, nebo matice, je nulová, pak to nemá inverzní.
Tenzor Notace
výpočet determinantu může být napsán v tenzorový zápis v několik různých způsobů,
\ determinant součinu dvou matic je stejný jako součin determinantů dvou matic. Jinými slovy,
\
determinant deformačního gradientu dávápoměr počátečního a konečného objemu diferenciálního prvku.
Inverses
inverzní matice \({\bf a}\) se zapisuje jako \({\bf a}^{\!-1}\)a má následující velmi důležité vlastnosti(viz oddíl o násobení matic níže)
\
Pokud \({\bf B}\) je inverzní funkce k \({\bf A}\), pak
\
Tenzor Notace
inverzní \(A_{ij}\) je často psáno jako \(A^{-1}_{ij}\).Všimněte si, že to pravděpodobně není přísně správné, protože,jak bylo uvedeno výše, ani \(a_{ij}\) ani \(A^{-1}_{ij}\) nejsou samy o sobě technicky matice.Jsou to pouze součásti matice. No dobře…
inverzní lze vypočítat pomocí
\
matice inverzní webové stránky
Tato stránka vypočítá inverzní matice 3×3.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/InverseForm.png)
Provádí z Inverses z Transponuje…
inverzní transpozice matice se rovná transpozici inverzní matice. Protože na pořadí nezáleží, dvojitá operace je zkrácenajednoduše jako \({\bf{a}}^{ \ !-T}\).
\
přidání matice
matice a tenzory jsou přidávány komponentou po komponentě stejně jako vektory.To lze snadno vyjádřit v tenzorové notaci.
\
Násobení matic (Tečka Produktů)
skalární součin dvou matic násobení každého řádku první strany každého columnof druhé. Produkty jsou často psané s tečkou v maticové notaci jako\( {\bf A} \cdot {\bf B} \), ale někdy psány bez tečky jako \( {\bf A} {\bf B} \). Multiplikacepravidla jsou ve skutečnosti nejlépe vysvětlena tenzorovou notací.
\
(Všimněte si, že v tenzorové notaci není použita žádná tečka.) \(K\) v obou faktorech automaticky znamená
\
což je i. řádek první matice vynásobený J. sloupcem druhé matice. Pokud, například, chcete vypočítat \(C_{23}\), pak \(i=2\) a \(j=3\), a
\
Násobení matic webové Stránky
Tato stránka vypočítá skalární součin dvou 3×3 matice.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/MatMultForm.png)
Násobení matic Není Komutativní
je velmi důležité si uvědomit, že násobení matic NENÍ komutativní, tj.
\
Provádí a Inverses Výrobků
provedení výrobku se rovná součinu provádí v opačném pořadí, a inverzní produkt se rovná produktu inverses v opačném pořadí.
Všimněte si, že „v opačném pořadí“ je kritická.To se používá značně v sekcích na deformačních gradientech a zelených kmenech.
\
To platí také pro více produktů. Například
\
produkt s vlastní transpozicí
součin matice a její vlastní transpozice je vždy symetrická matice.\({\bf a}^T \ cdot {\bf a} \) a \({\bf A} \cdot {\bf a}^T\) oba dávají symetrické, i když odlišné výsledky.To se používá značně v sekcích na deformačních gradientech a zelených kmenech.
produkty s dvojitou tečkou
součin dvou matic s dvojitou tečkou vytváří skalární result.It je zapsán v maticové notaci jako \({\bf a}: {\bf b}\).I když se zřídka používá mimo mechaniku kontinua, je ve skutečnosti docela běžné v pokročilých aplikacích lineární elasticity. Například \ ({1 \ nad 2} \sigma: \epsilon \) dává hustotu energie deformace v malém měřítku lineární elasticitu.Opět je jeho výpočet nejlépe vysvětlen tenzorovou notací.
\
vzhledem k tomu, že indexy \(i\) a \(j\) se objevují v obou faktorech, jsou oba sečteny tak, aby poskytly
\