Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, uspořádána tak, že součet čísla v jakékoli horizontální, vertikální, nebo hlavní diagonální linie je vždy stejný počet (Kraitchik 1942, str. 142; Andrews 1960, str. 1; Gardner 1961, str. 130; Madachy 1979, str. 84; Benson a Jacoby 1981, str. 3; Míč a Coxeter 1987, str. 193), známý jako „magické konstanty“

Pokud každé číslo v magickém náměstí, se odečte od , další magický čtverec je získán tzv. komplementární magický čtverec. Čtverec sestávající z po sobě jdoucích čísel začínajících 1 je někdy známý jako“ normální “ magický čtverec.

unikátní normální čtverec řádu tři byl znám starým Číňanům, kteří ho nazývali Lo Shu. Verze magického čtverce order-4 s čísly 15 a 14 v sousedních středních sloupcích ve spodním řádku se nazývá Dürerův kouzelný čtverec. Magické čtverce řádu 3 až 8 jsou uvedeny výše.

magické konstanty na tého řádu obecně magický čtverec začíná s celočíselnou a s položkami v rostoucí aritmetické řady s rozdílem mezi podmínkami je,

(Hunter a Madachy 1975).

je nevyřešeným problémem určit počet magických čtverců libovolného řádu, ale počet odlišných magických čtverců (kromě těch získaných rotací a odrazem) řádu , 2,… jsou 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, s. 87). 880 čtverců řádu čtyři bylo vyjmenováno Frénicle de Bessy v roce 1693 a jsou ilustrovány v Berlekamp et al. (1982, s. 778-783). Počet magických čtverců vypočítal R. Schroeppel v roce 1973. Počet čtverce, není známo, ale Pinn a Wieczerkowski (1998) odhaduje se, že je třeba pomocí simulace Monte Carlo a metody statistické mechaniky. Metody pro výčet magických čtverců jsou diskutovány Berlekamp et al. (1982) a na webových stránkách MathPages.

čtverec, který nedokáže být magický pouze proto, že jedna nebo obě hlavní úhlopříčky se nerovná magické konstantě, se nazývá semimagický čtverec. Pokud jsou všechny úhlopříčky (včetně těch, které byly získány obalením) magického čtvercového součtu na magickou konstantu, čtverec se říká, že je panmagický čtverec (nazývaný také ďábelský čtverec nebo pandiagonální čtverec). Pokud výměna každé číslo jeho náměstí produkuje další magický čtverec, náměstí je řekl, aby byl bimagic náměstí (nebo dvojnásobně magický čtverec). Pokud čtverec je kouzelná , to je nazýváno trimagic náměstí (nebo trebly magický čtverec). Pokud jsou všechny páry čísel symetricky naproti středovému součtu , čtverec je považován za asociativní magický čtverec.

čtverce, které jsou magické v násobení namísto sčítání, mohou být konstruovány a jsou známé jako násobení magických čtverců. Kromě toho mohou být konstruovány čtverce, které jsou magické jak při sčítání, tak při násobení a jsou známé jako magické čtverce sčítání a násobení (Hunter and Madachy 1975).

Kraitchik (1942) dává obecné techniky budování sudých a lichých čtverců, aby . Pro odd lze použít velmi přímočarou techniku známou jako siamská metoda, jak je znázorněno výše (Kraitchik 1942, s. 148-149). Začíná umístěním 1 do středového čtverce horního řádku a poté postupně umístěním následujících čísel do čtverce o jednu jednotku výše a doprava. Počítání je omotáno kolem, takže pád z horní části se vrací na dno a pád z pravé strany se vrací vlevo. Když se objeví čtverec, který je již vyplněn, další číslo se místo toho umístí pod předchozí číslo a metoda pokračuje jako dříve. Metoda, také nazývaná de la Loubereova metoda, je údajně poprvé hlášena na Západě, když se de la Loubere vrátil do Francie poté, co sloužil jako velvyslanec v Siamu.

zobecnění této metody používá „obyčejný vektor“ , který dává offset pro každý noncolliding pohybovat a „break vektor“ , který dává offset zavést po srážce. Standardní siamská metoda má tedy obyčejný vektor (1, a vektor přerušení (0, 1). Aby to vytvořilo magický čtverec, musí každý pohyb přestávky skončit na nevyplněné buňce. Speciální třídy magické čtverce mohou být postaveny s ohledem na absolutní částky . Zavolejte sadu těchto čísel součtemdiffy (součty a rozdíly). Pokud jsou všechny sumdiffy relativně prvočíselné na a čtverec je magický čtverec, pak čtverec je také panmagický čtverec. Tato teorie vznikla s De la Hire. Následující tabulka uvádí součtdiffy pro konkrétní volby obyčejných a zlomových vektorů.

druhá metoda pro generování magické čtverce lichého řádu byl projednán J. H. Conway pod názvem „kosočtverec“ metoda. Jak je znázorněno výše, v této metodě jsou lichá čísla vytvářena podél diagonálních čar ve tvaru diamantu ve střední části čtverce. Sudých čísel, které byly minul se pak přidávají postupně po pokračování diagonální získané obtékání kolem náměstí, dokud zabalené úhlopříčka dosáhne svého počátečního bodu. Ve výše uvedeném čtverci se tedy vyplní první úhlopříčka 1, 3, 5, 2, 4, Druhá úhlopříčka se vyplní 7, 9, 6, 8, 10, a tak dále.

elegantní metoda pro konstrukci magických čtverců z dvojnásobně i order je nakreslit s přes každý subsquare a vyplňte všechny čtverce v pořadí. Pak nahradit každou položku překročil-off diagonální nebo, ekvivalentně, obrátit pořadí přeškrtnuté položky. Ve výše uvedeném příkladu pro jsou tedy přeškrtnutá čísla původně 1, 4,…, 61, 64, takže položka 1 je nahrazena 64, 4 61 atd.

velmi elegantní metodu, elegantní metoda pro konstrukci magických čtverců z jednotlivě i order (neexistuje žádný magický čtverec řádu 2) je vzhledem k J. H. Conway, který říká „LUX“ metoda. Vytvořit pole se skládá z řádky s, 1 řádek z Nás, a řádky s, všechny délky . Vyměňte střední U S L nad ním. Nyní generovat magický čtverec tak, aby pomocí Siamská metoda se soustředil na řadu dopisy (začíná v centru náměstí v horní řadě), ale vyplňovat každou sadu čtyř čtverců okolních dopis postupně podle pořadí stanovené písmeno. Toto pořadí je znázorněno na levé straně výše uvedeného obrázku a vyplněný čtverec je znázorněn vpravo. „Tvary“ písmen L, U a X přirozeně naznačují pořadí plnění, odtud název algoritmu.

variace na magických čtvercích mohou být také konstruovány pomocí písmen (buď při definování čtverce nebo jako položky v něm), jako je alfamagický čtverec a templářský magický čtverec.

různé numerologické vlastnosti byly také spojeny s magickými čtverci. Pivari spojuje čtverce znázorněné výše se Saturnem, Jupiterem, Marsem,sluncem, Venuší, Merkurem a Měsícem. Atraktivní vzory se získají spojením po sobě jdoucích čísel v každém ze čtverců(s výjimkou magického čtverce slunce).