Cíle Vzdělávání
na konci této části, budete moci:
- Popsat správné délky.
- vypočítat délku kontrakce.
- vysvětlete, proč tyto účinky nezaznamenáváme v každodenních měřítcích.
Obrázek 1. Lidé by mohli popsat vzdálenosti jinak, ale při relativistických rychlostech jsou vzdálenosti opravdu odlišné. (úvěra: Corey Leopold, Flickr)
už jste někdy jeli na silnici, která vypadá, že to trvá navždy? Když se podíváte dopředu, můžete říct, že máte asi 10 km. Jiný cestovatel by mohl říci, že cesta před námi vypadá, že je dlouhá asi 15 km. Pokud jste oba měřili silnici, nicméně, souhlasili byste. Cestování při každodenních rychlostech, vzdálenost, kterou oba změříte, by byla stejná. V této části se však dočtete, že to neplatí při relativistických rychlostech. V blízkosti rychlosti světla nejsou měřené vzdálenosti při měření různými pozorovateli stejné.
správná délka
jedna věc, na které se všichni pozorovatelé shodnou, je relativní rychlost. I když hodiny měří různé uplynulé časy pro stejný proces, stále souhlasí s tím, že relativní rychlost, což je vzdálenost dělená uplynulým časem, je stejný. To znamená, že vzdálenost také závisí na relativním pohybu pozorovatele. Pokud dva pozorovatelé vidí různé časy, musí také vidět různé vzdálenosti, aby relativní rychlost byla stejná pro každou z nich.
mion popsaný v příkladu 1 v simultánnosti a dilataci času ilustruje tento koncept. Pozorovateli na Zemi se muon pohybuje rychlostí 0,950 c po dobu 7,05 µs od doby, kdy je produkován, dokud se nerozpadne. Tak to cestuje vzdálenosti
L0 = vΔt = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(7.05 × 10-6 s) = 2.01 km
vzhledem k Zemi. V referenčním rámci muonu je jeho životnost pouze 2,20 µs. Má dostatek času cestovat pouze
L0 = vΔt0 = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(2.20 × 10-6 s) = 0.627 km.
vzdálenost mezi stejnými dvěma událostmi (produkce a rozpad mionu) závisí na tom, kdo ji měří a jak se vůči ní pohybují.
Správná Délka
Správná délka L0 je vzdálenost mezi dvěma body, měřená pozorovatelem, který je v klidu vzhledem k oběma body.
pozorovatel vázaný na Zemi měří správnou délku L0, protože body, ve kterých se mion vytváří a rozkládá, jsou vůči zemi stacionární. K mionu, země, vzduch, a mraky se pohybují, a tak vzdálenost, kterou vidí, není správná délka.
Obrázek 2. a) pozorovatel vázaný na zemi vidí, jak muon urazí 2,01 km mezi mraky. b) muon vidí, že cestuje stejnou cestou, ale pouze ve vzdálenosti 0,627 km. Země, vzduch, a mraky se pohybují vzhledem k muonu v jeho rámu, a zdá se, že všechny mají menší délky ve směru jízdy.
Délka Kontrakce
rozvíjet rovnice týkající vzdálenosti jsou měřeny od různých pozorovatelů, jsme na vědomí, že rychlost vzhledem k Zemi vázané pozorovatele v naší mion příklad je dána tím,
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
čas vzhledem k pozorovateli vázanému na Zemi je Δt, protože časovaný objekt se pohybuje vzhledem k tomuto pozorovateli. Rychlost vzhledem k pohybujícímu se pozorovateli je dána
v= \ frac{L} {\Delta{t}_0}\\.
pohybující se pozorovatel cestuje s mionem, a proto pozoruje správný čas Δt0. Tyto dvě rychlosti jsou identické; tedy
\ frac{L_0} {\Delta{t}}=\frac{L} {\Delta{t}_0}\\.
víme, že Δt = γΔt0. Dosazením této rovnice do vztahu výše dává
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
po Dosazení za γ dává rovnici týkající se vzdálenosti měří od různých pozorovatelů.
Délka kontrakce
délka kontrakce L je zkrácení měřené délky objektu pohybujícího se vzhledem k rámu pozorovatele.
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\
Pokud budeme měřit délku něco pohybující se vzhledem k naší rám, najdeme jeho délku L být menší než správné délky L0, že by se měří, pokud objekt byl stacionární. Například v referenčním rámci muonu je vzdálenost mezi body, kde byla vyrobena a kde se rozpadla, kratší. Tyto body jsou pevné vzhledem k zemi, ale pohybují se vzhledem k muonu. Mraky a další objekty jsou také stahovány ve směru pohybu v muonově referenčním rámci.
Příklad 1. Výpočet Délky Kontrakce: Vzdálenost mezi Hvězdy Smluv, při Cestování ve Vysoké Rychlosti
řekněme, Že astronaut, jako jsou twin diskutovány v Simultánnosti a Dilatace Času, cestuje tak rychle, že γ = 30.00.
- cestuje ze Země do nejbližšího hvězdného systému Alfa Centauri, 4.300 světelných let (ly) měřená v Pozemské pozorovatele. Jak daleko od sebe jsou země a Alpha Centauri měřené astronautem?
- z hlediska c, jaká je její rychlost vzhledem k zemi? Můžete zanedbávat pohyb Země vzhledem ke Slunci. (Viz Obrázek 3.)
obrázek 3. a) pozorovatel vázaný na Zemi měří správnou vzdálenost mezi Zemí a Alfa Centauri. b) astronaut pozoruje zkrácení délky, protože země a Alfa Centauri se pohybují vzhledem k její lodi. Tuto kratší vzdálenost může urazit v menším čase (ve správném čase), aniž by překročila rychlost světla.
Strategie
Nejprve poznamenejme, že světelný rok (ly), je výhodné jednotku vzdálenosti z astronomického hlediska—to je vzdálenost, kterou světlo urazí za rok. Pro Části 1, na vědomí, že 4.300 ly vzdálenost mezi Alfa Centauri a Zemi, je správná vzdálenost L0, protože to je měřeno podle Pozemské pozorovatele na které obě hvězdy jsou (přibližně) stacionární. Do astronaut, Země a Alfa Centauri jsou pohybující se stejnou rychlostí, a tak vzdálenost mezi nimi je smluvně délku L. V Části 2 jsou uvedeny γ, a tak můžeme najít v předěláním definice γ vyjádřit v z hlediska c.
Řešení pro Část 1
Identifikovat knowns:
L0 − 4.300 ly; γ = 30.00
Identifikovat neznámé: L
Vyberte odpovídající rovnici:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
Uspořádejte rovnici pro řešení neznámého.
\begin{array}{lll}L&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ ly}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ ly}\end{array}\\
Řešení pro Část 2
Identifikovat známé: γ = 30.00
Identifikovat neznámé: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ tak, že 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ a \frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\dots\\
odmocníme, zjistili jsme, \frac{v}{c}=0.99944\\, který je předělaný na výrobu hodnotu pro rychlost v = 0.9994 c.
Diskuse
za Prvé, nezapomeňte, že byste neměli zaokrouhlovat výpočty, až konečný výsledek je získán, nebo byste mohli získat chybné výsledky. To platí zejména pro speciální výpočty relativity, kde rozdíly mohou být odhaleny až po několika desetinných místech. Relativistický efekt je zde velký (γ = 30.00), a vidíme, že v se blíží (ne rovná) rychlosti světla. Vzhledem k tomu, že vzdálenost měřená astronautem je mnohem menší, astronaut ji může cestovat v mnohem kratším čase ve svém rámci.
Lidé mohou být zaslány velmi velké vzdálenosti (tisíce, nebo dokonce miliony světelných let) a věku pouze několik let na cestě, když cestovali na velmi vysoké rychlosti. Ale, jako emigranti minulých staletí, opustili zemi, kterou znají navždy. I kdyby se vrátili, tisíce až miliony let by prošly na Zemi a zničily většinu toho, co nyní existuje. Existuje také vážnější praktická překážka pro cestování takovými rychlostmi; k dosažení tak vysokých rychlostí by bylo zapotřebí nesmírně větší energie, než předpovídá klasická fyzika. To bude diskutováno v Relatavistické energii.
obrázek 4. Linie elektrického pole nabité částice s vysokou rychlostí jsou stlačeny ve směru pohybu kontrakcí délky. To vytváří jiný signál, když částice prochází cívkou, experimentálně ověřený účinek kontrakce délky.
proč si nevšimneme kontrakce délky v každodenním životě? Zdá se, že vzdálenost od obchodu s potravinami nezávisí na tom, zda se pohybujeme nebo ne. Zkoumání rovnice L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\, vidíme, že při nízkých rychlostech (v<<c) délky jsou téměř rovné, klasické očekávání. Ale délka kontrakce je skutečná, ne-li běžně zkušený. Například nabitá částice, jako elektron, pohybující se relativistickou rychlostí, má čáry elektrického pole, které jsou stlačeny ve směru pohybu, jak je vidět stacionárním pozorovatelem. (Viz Obrázek 4.) Jako elektron prochází detektorem, jako jsou cívky drátu, jeho pole ovlivňuje mnohem více krátce, efekt pozorován u urychlovačů částic, jako je například 3 km dlouhá Stanford Linear Accelerator (SLAC). Ve skutečnosti, k elektronu, který cestuje po paprskové trubce na SLAC, urychlovač a země se pohybují a jsou zkráceny. Relativistický efekt je tak velký, že urychlovač je pouze 0,5 m dlouhý k elektronu. Je to vlastně jednodušší získat elektronový paprsek dolů potrubí, protože paprsek nemusí být přesně zaměřené, aby se krátké trubky, jako by dolů jeden 3 km dlouhý. Toto je opět experimentální ověření speciální teorie Relativity.
Zkontrolujte, zda Vaše Pochopení
částice je cestování skrz Zemské atmosféry rychlostí 0.750 c. Pro Pozemské pozorovatele, vzdálenost cesty je 2,50 km. Jak daleko se částice pohybuje v referenčním rámci částice?
Řešení
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\left(2.50\text{ km}\right)\sqrt{1-\frac{\left(0.750 c\right)^2}{c^2}}=1.65\text{ km}\\
Oddíl Shrnutí
- Všichni pozorovatelé se shodují na relativní rychlost.
- vzdálenost závisí na pohybu pozorovatele. Správná délka L0 je vzdálenost mezi dvěma body měřená pozorovatelem, který je v klidu vzhledem k oběma bodům. Pozorovatelé vázaní na zemi měří správnou délku při měření vzdálenosti mezi dvěma body, které jsou stacionární vzhledem k zemi.
- Délka kontrakce L je zkracování měřené délky objekt pohybující se vzhledem k pozorovateli je rám:
L=L_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\.
Koncepční Otázky
- komu Se má objekt vypadat větší na délku, pozorovatel pohybující se objekt nebo pozorovatele, který se pohybuje vzhledem k objektu? Který pozorovatel měří správnou délku objektu?
- relativistické efekty, jako je dilatace času a kontrakce délky, jsou přítomny u automobilů a letadel. Proč se nám tyto účinky zdají divné?
- Předpokládejme, že se astronaut pohybuje vzhledem k zemi významnou zlomkem rychlosti světla. (a) pozoruje rychlost jeho hodin, aby se zpomalil? b) jakou změnu rychlosti hodin vázaných na zemi vidí? c) zdá se mu, že se jeho loď zkracuje? d) a co vzdálenost mezi hvězdami, které leží na liniích rovnoběžných s jeho pohybem? e) shoduje se on a pozorovatel vázaný na zemi na své rychlosti vzhledem k zemi?
Problémy & Cvičení
- vesmírnou loď, 200 m dlouhý, jak je vidět na palubě, pohyby Země v 0.970 c. Co je jeho délka měřená v Pozemské pozorovatele?
- jak rychle by kolem vás musel projíždět sportovní vůz o délce 6,0 m, aby se objevil pouze 5,5 m dlouhý?
- (a) jak daleko se Muon v příkladu 1 v simultánnosti a dilataci času pohybuje podle pozorovatele vázaného na Zemi? b) jak daleko se pohybuje při pohledu pozorovatele, který se s ním pohybuje? Založte svůj výpočet na jeho rychlosti vzhledem k zemi a času, který žije (správný čas). c) ověřte, zda tyto dvě vzdálenosti souvisejí s délkou kontrakce γ = 3,20.
- (a) jak dlouho by mion v příkladu 1 v simultánnosti a Časové dilataci žil tak, jak byl pozorován na zemi, pokud by jeho rychlost byla 0,0500 c? b) jak daleko by cestoval, jak je pozorováno na Zemi? c) jaká je Vzdálenost v rámečku mion?
- (a) jak dlouho trvá astronautovi v příkladu 1 cestovat 4,30 ly při 0,99944 c(měřeno pozorovatelem vázaným na Zemi)? b) Jak dlouho to podle Astronauta trvá? c) ověřte, zda tyto dva časy souvisejí s časovou dilatací s γ = 30.00, jak je uvedeno.
- (a) jak rychle by sportovec musel běžet na 100m závod, aby vypadal 100 yd dlouhý? b) odpovídá odpověď skutečnosti, že za běžných okolností je obtížné pozorovat relativistické účinky? Vysvětlit.
- nepřiměřené výsledky. a) zjistí hodnotu γ pro následující situaci. Astronaut měří délku své kosmické lodi na 25,0 m, zatímco pozorovatel vázaný na Zemi ji měří na 100 m. b) Co je na tomto výsledku nepřiměřené? c) které předpoklady jsou nepřiměřené nebo nekonzistentní?
- nepřiměřené výsledky. Loď míří přímo k Zemi rychlostí 0.800 c. Astronaut na palubě tvrdí, že může poslat kanystr k Zemi na 1,20 c vzhledem k Zemi. (a) vypočítejte rychlost, kterou musí mít kanystr vzhledem k kosmické lodi. b) Co je na tomto výsledku nepřiměřené? c) které předpoklady jsou nepřiměřené nebo nekonzistentní?
Glosář
správná délka: L0; vzdálenost mezi dvěma body, měřená pozorovatelem, který je v klidu vzhledem k oběma body; Pozemské pozorovatele měření správné délky při měření vzdálenosti mezi dvěma body, které jsou v klidu vzhledem k Zemi
délka kontrakce: L, zkracování měřené délky objekt pohybující se vzhledem k pozorovateli je rám:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\
Vybrané Řešení Problémů & Cvičení
1. 48,6 m
3. a) 1,387 km = 1,39 km; b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c) \Delta{t}=\gamma,\Delta{t}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac{\Delta{t}}{\Delta{t}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\\
to Znamená, že dva krát souvisí, když γ = 30.00.
7. (a) 0.250; (b) γ musí být ≥ 1; (c) pozorovatel vázaný na Zemi musí měřit kratší délku, takže je nepřiměřené předpokládat delší délku.