Bezmezné Algebry

Sazby Změnit

Lineární funkce aplikovat do reálného světa, problémy, které zahrnují konstantní rychlostí.

rychlost změny

lineární rovnice často zahrnují rychlost změny. Například rychlost, s jakou se vzdálenost mění v průběhu času, se nazývá rychlost. Pokud jsou známy dva body v čase a celková ujetá vzdálenost, lze určit rychlost změny, známou také jako sklon. Z těchto informací lze napsat lineární rovnici a poté z rovnice čáry vytvořit předpovědi.

Pokud jednotka nebo množství, pro které se něco mění, není specifikováno, obvykle je rychlost za jednotku času. Nejběžnějším typem rychlosti je „za jednotku času“, jako je rychlost, srdeční frekvence a tok. Poměry, které mají nečasového jmenovatele, zahrnují směnné kurzy, míry gramotnosti a elektrické pole (ve voltech / metr).

Při popisu jednotek sazba, slovo „na“ se používá k oddělení jednotky ze dvou měření použité pro výpočet sazby (například srdeční frekvence je vyjádřena „tepů za minutu“).

míra změny: Aplikace v reálném světě

sportovec začíná normální trénink pro další maraton během večera. V 6: 00 začne běžet a opouští svůj domov. V 19:30 sportovec dokončí běh doma a uběhl celkem 7,5 mil. Jak rychlá byla jeho průměrná rychlost v průběhu běhu?

rychlost změny je rychlost jeho běhu; Vzdálenost v čase. Proto jsou dvě proměnné čas (x) a vzdálenost (y). První bod je v jeho domě, kde jeho Hodinky číst 6: 00 pm. Toto je počáteční čas, takže to nastavíme na 0. Takže náš první bod je (0,0), protože ještě nikam neběžel. Zamysleme se nad naším časem v hodinách. Náš druhý bod je o 1,5 hodiny později a uběhli jsme 7,5 mil. Druhým bodem je (1,5, 7,5). Naše rychlost (rychlost změny) je jednoduše sklon čáry spojující dva body. Sklon, daný: m = \ frac{y_{2} – y_{1}}{x_{2} – x_{1}} se stává m = \frac{7.5}{1.5}=5 mil za hodinu.

příklad: Graf čáry znázorňující rychlost

pro graf této čáry potřebujeme y-intercept a sklon k zápisu rovnice. Sklon byl 5 mil za hodinu a protože výchozí bod byl na (0,0), y-intercept je 0. Takže naše konečná funkce je y=5x.

s touto novou funkcí nyní můžeme odpovědět na další otázky.

• kolik kilometrů uběhl po první půlhodině? Pomocí rovnice, pokud x=\frac{1}{2}, vyřešte pro y. pokud y=5x, pak y=5 (0,5)=2,5 mil.
• Pokud běžel stejným tempem celkem 3 hodiny, kolik kilometrů uběhne? Pokud x=3, vyřešte pro y. pokud y=5x, pak y=5 (3)=15 mil.

existuje mnoho takových aplikací pro lineární rovnice. Cokoli, co zahrnuje konstantní rychlost změny, může být pěkně reprezentováno čárou se sklonem. Opravdu, pokud máte jen dva body, pokud víte, že funkce je lineární, můžete ji grafovat a začít klást otázky! Jen se ujistěte, že to, co se ptáte, a grafy mají smysl. Například v příkladu marathon je doména opravdu pouze x\geq0, protože nemá smysl jít do negativního času a ztratit míle!

Lineární matematické modely

Lineární matematické modely popisují aplikace reálného světa pomocí čar.

Matematické Modely

matematický model je popis systému pomocí matematické pojmy a jazyk. Matematické modely se používají nejen v přírodních vědách a inženýrských disciplínách, ale také ve společenských vědách. Lineární modelování může zahrnovat změnu populace, poplatky za telefonní hovory, náklady na pronájem kola, řízení hmotnosti, nebo fundraising. Lineární model zahrnuje rychlost změny (m)a počáteční částku, y-intercept b. Poté, co je model zapsán a je vytvořen graf řádku, lze buď předpovědět chování.

reálný lineární Model

mnoho každodenních činností vyžaduje použití matematických modelů, možná nevědomě. Jeden problém s matematickými modely spočívá v překladu aplikace v reálném světě do přesné matematické reprezentace.

příklad: pronájem stěhovací dodávky

Půjčovna si účtuje paušální poplatek 30 USD a dalších 0,25 USD za míli k pronájmu stěhovací dodávky. Napište lineární rovnici pro přiblížení nákladů y (v dolarech) z hlediska x, počtu najetých kilometrů. Kolik by stálo 75 mil výlet?

Pomocí směrnicovém tvaru lineární rovnice, s celkovými náklady označeny y (závislá proměnná) a mil označené x (nezávislé proměnné):

\displaystyle y=mx+b.

celková cena se rovná cena za míli krát počet mil řízený plus náklady za paušální poplatek:

\displaystyle y=0.25 x+30

spočítejte si náklady 75 mil výlet, náhrada 75 x do rovnice:

\displaystyle \begin{align} y&=0,25 x+30\\ &&&=48.75 \end{align}

Real life Model s Více Rovnicemi

je také možné, aby se model více linek a jejich rovnice.

příklad

zpočátku jsou vlaky a A B od sebe vzdáleny 325 mil. Vlak a jede směrem na B rychlostí 50 mil za hodinu a vlak B jede směrem na a rychlostí 80 mil za hodinu. V kolik hodin se oba vlaky setkají? V této době, jak daleko cestovaly vlaky?

nejprve začněte s výchozími pozicemi vlaků (y-zachytí, b). Vlak a začíná jsou původ, (0,0). Vzhledem k tomu, vlak B je 325 mil od vlaku a zpočátku, jeho poloha je (0,325).

za druhé, aby bylo možné napsat rovnice představující celkovou vzdálenost každého vlaku z hlediska času, Vypočítejte rychlost změny pro každý vlak. Protože vlak a jede směrem k vlaku B, který má větší hodnotu y, musí být rychlost změny vlaku a kladná a rovna jeho rychlosti 50. Vlak B jede směrem k A, který má menší hodnotu y, což dává B zápornou míru změny: -80.

dva řádky jsou tedy:

\displaystyle y_A=50x\\

:

\displaystyle y_B=−80x+325

dva vlaky setkají, kde se obě linky protínají. Najít, kde se ty dvě přímky protínají sadu rovnic, rovnají se i navzájem a řešit pro x.

\displaystyle y_{A}=y_{B}

\displaystyle 50x=-80x+325

Řešení pro x uvádí:

\displaystyle x=2.5,

dva vlaky setkat po 2,5 hodiny. Chcete-li zjistit, kde to je, zapojte 2.5 do obou rovnic.

zapojení do první rovnice nám dává 50(2.5)=125, což znamená, že se setká po cestování 125 mil.

Zde je vzdálenost versus čas grafický model dva vlaky:

osazení křivky

osazení křivky čarou se pokouší nakreslit čáru tak ,aby“ nejlépe vyhovovala “ všem datům.

Křivky

Curve fitting je proces budování křivky, nebo matematické funkce, které se nejlépe hodí k řadě datových bodů, případně s výhradou omezení. Křivka fitting může zahrnovat buď interpolace, kde je vyžadováno přesné přizpůsobení k datům, nebo vyhlazování, ve kterém je vytvořena“ hladká “ funkce, která přibližně odpovídá datům. Napínací křivky mohou být použity jako pomůcka pro vizualizaci dat, odvodit hodnoty funkce, kde nejsou k dispozici žádné údaje, a shrnout vztahy mezi dvěma nebo více proměnnými. Extrapolace se týká použití upravené křivky mimo rozsah pozorovaných údajů a podléhá větší míře nejistoty, protože může odrážet metodu použitou ke konstrukci křivky stejně jako odráží pozorovaná data.

v této části budeme montovat pouze řádky k datovým bodům, ale je třeba poznamenat, že jeden může přizpůsobit polynomiální funkce, kruhy, kusové funkce a libovolný počet funkcí k datům a je to silně používané téma ve statistice.

Lineární Regrese Vzorec

Lineární regresní přístup k modelování lineární vztah mezi závislé proměnné y a nezávislé proměnné x. Lineární regrese, přímka ve směrnicovém tvaru y=mx+b je zjištěno, že „nejlépe odpovídá“ data.

nejjednodušším a snad nejběžnějším lineárním regresním modelem je obyčejná aproximace nejmenších čtverců. Tato aproximace se pokouší minimalizovat součty čtvercové vzdálenosti mezi přímkou a každým bodem.

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

zjistěte sklon nejlepší fit, výpočet v následujících krocích:

1. součet součinu souřadnic x a y, \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. součet x-souřadnic \ sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. součet souřadnic Y \ sum_{j=1}^{n}y_{j}.
4. součet čtverců souřadnic x \ sum_{i=1}^{n} (x_{i}^{2}).
5. součet souřadnic X na druhou (\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}.
6. podíl čitatele a jmenovatele.

\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ &= \left (\bar{y} – m \bar{x} \right) \end{align}

najděte y (b), vypočítat pomocí následující kroky:

1. průměr y-souřadnice. Nechť \bar{y}, vyslovený y-bar, představuje střední (nebo průměrnou) hodnotu y všech datových bodů: \bar y = \ frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i}.
2. průměr souřadnic x. Respektive \bar{x}, vyslovováno x-bar, je střední (nebo průměrná) hodnota x všech datových bodů: \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}.
3. nahraďte hodnoty do vzorce nad b=\bar{y} – m \bar{x}.

pomocí těchto hodnot m a b máme nyní přímku, která přibližuje body v grafu.

Příklad: Napište nejmenších čtverců fit line a pak graf přímky, která nejlépe vyhovuje data

Pro n=8 bodů: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) a (6,4).

za Prvé, najít svahu (m) a y (b), že nejlepší přibližné tato data, pomocí rovnice z předchozího oddílu:

zjistěte sklon, výpočet:

1. součet součinu souřadnic x a y, \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. součet x-souřadnic \ sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. součet souřadnic Y \ sum_{i=1}^{n}y_{i}.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \end{align}

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. Výpočet čitatele: produkt x
a y-souřadnice
mínus jeden-osmý produkt součet x-souřadnice a součet y-souřadnice:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}

čitatel ve svahu rovnice je:

\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. Vypočítejte jmenovatele:
součet čtverců x-souřadnice mínus jeden-osmý součet x-souřadnice na druhou,

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})&&=92 \end{align}

jmenovatel je 92-\frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 a sklon je podíl čitatele a jmenovatele: \frac{23.25}{42}\approx0.554.

nyní pro y-intercept, (b) osmina krát průměr souřadnic x: \bar{x}=\frac{20}{8}=2.5 a osminásobek průměru souřadnic y: \bar{y}=\frac{13,5}{8}=1,6875.

Proto b=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\:

\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

Naše konečná rovnice je tedy y=0.554 x+0.3025, a tato linka je v grafu spolu s body.

odlehlé hodnoty a regrese nejmenších čtverců

Pokud máme bod, který je daleko od přibližující se čáry, pak to zkreslí výsledky a zhorší linii. Například, řekněme v našem původním příkladu, místo bodu (-1,0) máme (-1,6).

Použití stejné výpočty jako výše se nový bod, výsledky jsou:m\approx0.0536 a b\approx2.3035, získat nové rovnice y=0.0536 x+2.3035.

při pohledu na body a čáru na novém obrázku níže tento nový řádek neodpovídá datům dobře kvůli odlehlosti(-1,6). Ve skutečnosti, se snaží, aby se vešly lineárních modelů na data, která je kvadratické, kubické, nebo cokoliv, non-lineární, nebo dat s mnoha extrémy nebo chyby, může mít za následek špatné aproximace.