existuje speciální typ systému, který vyžaduje další studium. Tento typ systému se nazývá homogenní systém rovnic, který jsme definovali výše v definici . V této části se zaměřujeme na zvážení, jaké typy řešení jsou možné pro homogenní systém rovnic.
zvažte následující definici.
definice \(\PageIndex{1}\): Triviální Řešení,
Zvážit homogenní soustavy rovnic dané \ Pak \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) je vždy řešení, aby tento systém. Říkáme tomu triviální řešení .
pokud má systém řešení, ve kterém nejsou všechny \(x_1, \cdots, x_n\) rovny nule, pak toto řešení nazýváme netriviální . Triviální řešení nám o systému moc neříká, protože říká, že \(0=0\)! Proto při práci s homogenními systémy rovnic chceme vědět, kdy má systém netriviální řešení.
Předpokládejme, že máme homogenní systém \(m\) rovnice, pomocí \(n\) proměnných, a předpokládejme, že \(n > m\). Jinými slovy, existuje více proměnných než rovnic. Pak se ukáže, že tento systém má vždy netriviální řešení. Systém bude mít nejen netriviální řešení, ale také bude mít nekonečně mnoho řešení. Je také možné, ale není nutné, mít netriviální řešení, pokud \(n=m\) a \(n<m\).
zvažte následující příklad.
Example \(\PageIndex{1}\): Řešení Homogenní Soustavy Rovnic
Najít netriviální řešení následující homogenní soustavy rovnic \
Řešení
Všimněte si, že tento systém má \(m = 2\) rovnic a \(n = 3\) proměnných, takže \(n>m\). Proto v naší předchozí diskusi očekáváme, že tento systém bude mít nekonečně mnoho řešení.
proces, který slouží k nalezení řešení pro homogenní systém rovnic je stejný postup jsme použili v předchozí části. Nejprve vytvoříme rozšířenou matici, danou \\] pak přeneseme tuto matici na její, uvedenou níže. \\ ] Odpovídající systém rovnic je \ protože \(z\) není omezen žádnou rovnicí, víme, že tato proměnná se stane naším parametrem. Nechť \(z=T\) kde \(t\) je libovolné číslo. Proto má naše řešení tvar \ proto má tento systém nekonečně mnoho řešení, s jedním parametrem \(t\).
Předpokládejme, že jsme měli napsat řešení na předchozí příklad v jiné podobě. Konkrétně, \ lze zapsat jako \ = \left + t \left\] Všimněte si, že jsme postavili sloup z konstanty v řešení (stejné jako \(0\)), stejně jako sloupec odpovídající koeficienty \(t\) v každé rovnici. Zatímco budeme diskutovat o této formě řešení více v dalších kapitolách, prozatím zvažte sloupec koeficientů parametru \(t\). V tomto případě se jedná o sloupec \(\left\).
pro tento sloupec je speciální název, což je základní řešení. Základní řešení systému jsou sloupce konstruované z koeficientů na parametrech v řešení. Základní řešení často označujeme \(X_1, X_2\) atd., v závislosti na tom, kolik řešení nastane. Proto má příklad základní řešení \(X_1 = \left\).
zkoumáme to dále v následujícím příkladu.
Příklad \(\PageIndex{1}\): Základní Řešení Homogenní Systém,
Zvažte následující homogenní soustavu rovnic. \ Najít základní řešení tohoto systému.
Řešení
rozšířenou matici této soustavy a výsledná jsou \ \rightarrow \cdots \rightarrow \left\], Když napsal v rovnicích, tento systém je dán \ Všimněte si, že \(x\) odpovídá kontingenční sloupce. V tomto případě budeme mít dva parametry, jeden pro \(y\) a jeden pro \(z\). Nechť \(y = S\) A \(z=T\) pro libovolná čísla \(s\) a \(t\). Pak naše řešení se stává \ což lze zapsat jako \ = \left + s \left + t \left\] zde můžete vidět, že máme dva sloupce koeficienty odpovídající parametry, konkrétně jeden pro \(s\) a jeden pro \(t\). Proto má tento systém dvě základní řešení! Jedná se o\, X_2 = \left\]
nyní představujeme novou definici.
Definici \(\PageIndex{1}\): Lineární Kombinace
Nechť \(X_1,\cdots ,X_n,V\), bude sloupec matice. Pak \(V\) je řekl, aby být lineární kombinací sloupců \(X_1,\cdots , X_n\), jestliže existují skaláry, \(a_{1},\cdots ,a_{n}\) takové, že \
pozoruhodným výsledkem této části je, že lineární kombinace základní řešení je opět řešení systému. Ještě pozoruhodnější je, že každé řešení lze napsat jako lineární kombinaci těchto řešení. Pokud tedy vezmeme lineární kombinaci těchto dvou řešení jako příklad, bylo by to také řešení. Například, můžeme vzít následující lineární kombinace
\ + 2 \left = \left\] měli Byste se na chvíli ověřit, že \ = \left\]
je ve skutečnosti řešení systému v Příkladu .
dalším způsobem, jak zjistit více informací o řešeních homogenního systému, je zvážit hodnost přidružené matice koeficientů. Nyní definujeme, co se rozumí hodností matice.
Definici \(\PageIndex{1}\): Hodnost Matice
Nechť \(A\) je matice a zvážit některou z \(A\). Potom číslo \(r\) předních položek \(a\) nezávisí na zvoleném a nazývá se hodnost \(a\). Označujeme to hodností (\(a\)).
podobně bychom mohli spočítat počet otočných pozic(nebo otočných sloupců), abychom určili hodnost \(a\).
Example \(\PageIndex{1}\): Nalezení hodnosti matice
zvažte matici \\] jaká je její hodnost?
řešení
nejprve musíme najít of \(A\). Pomocí obvyklého algoritmu zjistíme, že je to \\] zde máme dvě přední položky nebo dvě otočné pozice, které jsou uvedeny výše v polích.Hodnost \(a\) je \(r = 2.\)
Všimněte si, že bychom dosáhli stejné odpovědi, kdybychom našli of \(a\) namísto .
Předpokládejme, že máme homogenní systém \(m\) rovnice v \(n\) proměnných, a předpokládejme, že \(n > m\). Z naší výše uvedené diskuse víme, že tento systém bude mít nekonečně mnoho řešení. Pokud vezmeme v úvahu hodnost koeficientové matice tohoto systému, můžeme se o řešení dozvědět ještě více. Všimněte si, že se díváme pouze na matici koeficientů, ne na celou rozšířenou matici.
Věta \(\PageIndex{1}\): Hodnosti a Řešení pro Homogenní Systém,
Nechť \(A\) je \(m \times n\) koeficient matice odpovídající homogenní soustavy rovnic a předpokládejme, že \(A\) má hodnost \(r\). Poté má řešení odpovídajícího systému parametry \(n-r\).
zvažte náš výše uvedený příklad v kontextu této věty. Systém v tomto příkladu má \(m = 2\) rovnice v \(n = 3\) proměnné. Za prvé, protože \(n>m\), víme, že soustava má netriviální řešení, a proto nekonečně mnoho řešení. To nám říká, že řešení bude obsahovat alespoň jeden parametr. Hodnost matice koeficientů nám může říci ještě více o řešení! Hodnost matice koeficientu systému je \(1\), protože má Jeden přední vstup . Věta nám říká, že řešení bude mít parametry \(n-r = 3-1 = 2\). V příkladu řešení můžete zkontrolovat, zda je to pravda .
Všimněte si, že pokud \(n=m\) nebo \(n<m\), je možné mít buď jediné řešení (což bude triviální řešení), nebo nekonečně mnoho řešení.
zde se neomezujeme pouze na homogenní soustavy rovnic. Hodnost matice může být použita k poznání řešení jakéhokoli systému lineárních rovnic. V předchozí části jsme diskutovali, že systém rovnic nemůže mít žádné řešení, jedinečné řešení nebo nekonečně mnoho řešení. Předpokládejme, že systém je konzistentní, ať už je homogenní nebo ne. Následující věta nám říká, jak můžeme použít hodnost, abychom se dozvěděli o typu řešení, které máme.
Věta \(\PageIndex{1}\): Hodnosti a Řešení Konzistentní Soustavu Rovnic,
Nechť \(A\) je \(m \times \left( n+1 \right)\) rozšířená matice odpovídající konzistentní soustavu rovnic v \(n\) proměnných, a předpokládejme, že \(A\) má hodnost \(r\). Pak
-
systém má jedinečné řešení, pokud \(r = n\)
-
systém má nekonečně mnoho řešení, pokud \(r < n\)
nebudeme předkládat formální důkaz, ale zvažte následující diskuse.
-
žádné řešení výše uvedená věta předpokládá, že systém je konzistentní, to znamená, že má řešení. Ukazuje se, že je možné, aby rozšířená matice systému bez řešení měla jakoukoli hodnost \(r\), pokud \(r> 1\). Proto musíme vědět, že systém je konzistentní, abychom mohli tuto větu používat!
-
unikátní řešení Předpokládejme \(r=n\). Pak je v každém sloupci matice koeficientu pozice otáčení \(A\). Proto existuje jedinečné řešení.
-
nekonečně mnoho řešení předpokládá \(r< n\). Pak existuje nekonečně mnoho řešení. Existuje méně otočných pozic (a tedy méně předních položek) než sloupců, což znamená, že ne každý sloupec je otočný sloupec. Sloupce, které jsou \(ne\) otočné sloupce, odpovídají parametrům. Ve skutečnosti máme v tomto případě parametry \(n-r\).